Connecting Linear and Rotational Motion · Conectar el Movimiento Lineal y Rotacional
On a merry-go-round, the edge whips past
- Stand near the centre of a spinning merry-go-round and you drift slowly.
- Stand at the edge and you are whipped around fast — yet everyone shares the same spin.
- The whole platform turns together, so everyone has the same angular velocity.
- But each rider's linear speed depends on how far out they sit.
En un carrusel, el borde se mueve rápido
- Si te paras cerca del centro de un carrusel giratorio, te desplazarás lentamente.
- Si te paras en el borde, serás arrastrado rápidamente — pero todos comparten la misma rotación.
- Toda la plataforma gira junta, por lo que todos tienen la misma velocidad angular.
- Pero la velocidad lineal de cada pasajero depende de qué tan lejos esté del centro.
The bridge equations
- Arc length links to angle: $s = r\theta$.
- Linear speed links to angular speed: $v = r\omega$.
- Tangential acceleration links to angular acceleration: $a_t = r\alpha$.
- In every case, multiply the angular quantity by the radius $r$.
Las ecuaciones puente
- La longitud de arco se relaciona con el ángulo: $s = r\theta$.
- La velocidad lineal se relaciona con la velocidad angular: $v = r\omega$.
- La aceleración tangencial se relaciona con la aceleración angular: $a_t = r\alpha$.
- En todos los casos, multiplica la cantidad angular por el radio $r$.
Radius sets the speed · El radio determina la velocidad
Change the radius and see how the arc length (and so the linear speed) scales with r. · Cambia el radio y observa cómo la longitud de arco (y por tanto la velocidad lineal) escala con r.
A point is $0.3\ \text{m}$ from a wheel's axis, spinning at $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. What is its linear speed, in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Un punto está a $0.3\ \text{m}$ del eje de una rueda que gira con $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. ¿Cuál es su velocidad lineal, en $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
The arc length swept is $s = r\_\_$ (fill in the angular quantity). · La longitud de arco barrida es $s = r\_\_$ (completa con la cantidad angular).
$s = r\theta$ — radius times the angle in radians. · $s = r\theta$ — radio por el ángulo en radianes.
Select all · todos correct linear–rotational bridge equations. · Selecciona todas las ecuaciones correctas de conexión entre movimiento lineal y rotacional.
Each links an angular quantity to a linear one by multiplying by $r$. $v = \omega/r$ is wrong. · Cada una vincula una cantidad angular con una lineal multiplicándola por $r$. $v = \omega/r$ es incorrecto.
Farther out means faster
- Because $v = r\omega$, a larger radius gives a larger linear speed for the same spin.
- The rim of a wheel moves faster than a point near the hub.
- This is why a long lever tip, a fan blade edge, or the outer horse on a carousel moves quickest.
- Same $\omega$ everywhere on the object; different $v$ at different radii.
Más lejos significa más rápido
- Debido a que $v = r\omega$, un radio mayor produce una mayor velocidad lineal para la misma rotación.
- El borde de una rueda se mueve más rápido que un punto cerca del buje.
- Por eso, la punta de una palanca larga, el borde de una pala de ventilador o el caballo exterior de un carrusel se mueven más rápido.
- $\omega$ es igual en toda la objeto; $v$ es diferente en diferentes radios.
On a rigid spinning disk, how do a rim point and a point near the hub compare? · En un disco rígido que gira, ¿cómo se comparan un punto en el borde y un punto cerca del centro?
All points share $\omega$; the rim has a larger radius, so $v = r\omega$ is larger there. · Todos los puntos comparten $\omega$; el borde tiene un radio mayor, por lo que $v = r\omega$ es mayor allí.
For the same wheel above, what is the linear speed at $0.6\ \text{m}$ from the axis, in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Para la misma rueda anterior, ¿cuál es la velocidad lineal a $0.6\ \text{m}$ del eje, en $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — double the radius, double the speed. · $v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — doble radio, doble velocidad.
Rolling without slipping
- When a wheel rolls without slipping, its centre moves at $v = r\omega$.
- The contact point is momentarily at rest; the top moves at $2v$.
- This neat condition ties a wheel's spinning to its travelling.
- We will use it again for rolling energy in the next topic.
Rodadura sin deslizamiento
- Cuando una rueda rueda sin deslizarse, su centro se mueve a $v = r\omega$.
- El punto de contacto está momentáneamente en reposo; la parte superior se mueve a $2v$.
- Esta condición sencilla vincula la rotación de la rueda con su desplazamiento.
- Lo usaremos nuevamente para la energía de rodadura en el próximo tema.
A wheel rolling without slipping has its centre moving at $v = r\omega$. · Una rueda que rueda sin resbalar tiene su centro moviéndose a $v = r\omega$.
Rolling without slipping ties travel to spin exactly by $v = r\omega$. · Rodar sin resbalar vincula el desplazamiento con la rotación exactamente mediante $v = r\omega$.
Every point on a rigid spinning object shares the same $\omega$, but not the same $v$. Do not assume the edge and the centre move at the same linear speed — the edge is much faster because its radius is larger ($v = r\omega$).
Cada punto de un objeto rígido giratorio comparte la misma $\omega$, pero no la misma $v$. No asumas que el borde y el centro se mueven a la misma velocidad lineal — el borde se mueve mucho más rápido porque su radio es mayor ($v = r\omega$).
A point sits $0.3\ \text{m}$ from the axis of a wheel turning at $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
A point at $0.6\ \text{m}$ would move at $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — twice as fast, for the same spin.
Un punto se encuentra a $0.3\ \text{m}$ del eje de una rueda que gira a $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Un punto a $0.6\ \text{m}$ se movería a $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — el doble de rápido, para la misma rotación.
Linear and angular motion are linked by the radius: $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$. Every point on a rigid body shares the same $\omega$, but points farther from the axis have larger $v$. A wheel rolling without slipping obeys $v = r\omega$.
El movimiento lineal y angular están vinculados por el radio: $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$. Cada punto de un cuerpo rígido comparte la misma $\omega$, pero los puntos más alejados del eje tienen una $v$ mayor. Una rueda que rueda sin deslizarse obedece $v = r\omega$.