The Quotient Rule · La Regla del Cociente
| English | Español |
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| Quotient Rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | Regla del cociente |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | expresión racional |
Dividing functions needs care
- Just as products need the Product Rule, quotients need the Quotient Rule 商法则.
- You can't differentiate top and bottom separately and divide — that's wrong.
- The rule handles a rational expression 分式表达式 $\dfrac{f}{g}$ of two functions.
- Its numerator has a subtraction, so order and signs matter a lot.
Dividir funciones requiere cuidado
- Al igual que los productos necesitan la Regla del Producto, los cocientes necesitan la Regla del Cociente 商法则.
- No se puede derivar el numerador y el denominador por separado y luego dividir — eso es incorrecto.
- La regla maneja una expresión racional 分式表达式 $\dfrac{f}{g}$ de dos funciones.
- Su numerador tiene una resta, por lo que el orden y los signos son muy importantes.
The rule
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$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- Top: "derivative of the top times the bottom, minus the top times derivative of the bottom."
- Bottom: the original denominator, squared.
- A memory hook: "low d-high minus high d-low, over low-squared."
La regla
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$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- Numerador: "derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador".
- Denominador: el denominador original, elevado al cuadrado.
- Unrecordatorio mnemotécnico: "bajo d-arriba menos arriba d-bajo, sobre bajo al cuadrado".
The Quotient Rule numerator for $\dfrac{f}{g}$ is... · El numerador de la Regla del Cociente para $\dfrac{f}{g}$ es...
Numerator is $f'g-fg'$, over $g^2$. · El numerador es $f'g-fg'$, sobre $g^2$.
In the Quotient Rule, the denominator of the answer is $g$ ____ (to what power?). · En la Regla del Cociente, el denominador de la respuesta es $g$ ____ (¿a qué potencia?).
The denominator is $g^2$. · El denominador es $g^2$.
Select all · todos true statements about the Quotient Rule. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre la Regla del Cociente.
$g^2\ge0$ always, so it never flips the sign. · $g^2\ge0$ siempre, por lo que nunca invierte el signo.
Order is everything
- The numerator is $f'g - fg'$, not $fg' - f'g$ — swapping them flips every sign.
- Always write the $f'g$ term first; that fixes the order and prevents sign slips.
- The denominator $g^2$ is always positive, so it never changes the sign of the answer.
- Keep the pieces labeled: $f,f',g,g'$ before you assemble.
El orden lo es todo
- El numerador es $f'g - fg'$, no $fg' - f'g$ — invertirlos invierte todos los signos.
- Escriba siempre el término $f'g$ primero; eso fija el orden y evita errores de signo.
- El denominador $g^2$ es siempre positivo, por lo que nunca cambia el signo de la respuesta.
- Mantenga las partes etiquetadas: $f,f',g,g'$ antes de armarlas.
A rational curve to differentiate · Una curva racional para derivar
y = a / (x − b)
A quotient like $\dfrac{x^2}{x+1}$ has a slope the Quotient Rule computes — note the vertical asymptote where the denominator is zero. · Un cociente como $\dfrac{x^2}{x+1}$ tiene una pendiente que calcula la Regla del Cociente — note la asíntota vertical donde el denominador es cero.
Writing the numerator as $fg' - f'g$ (reversed) gives the same answer. · Escribir el numerador como $fg' - f'g$ (invertido) da la misma respuesta.
Reversing the order negates the whole numerator — a sign error. · Invertir el orden cambia el signo de todo el numerador — un error de signo.
Differentiate $y=\dfrac{x}{x+1}$. · Derive $y=\dfrac{x}{x+1}$.
$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
Sometimes a product is easier
- A quotient $\dfrac{f}{g}$ can be rewritten as a product $f\cdot g^{-1}$ and done with the Product + Power rules.
- For simple denominators this can be quicker: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- But for genuine two-function quotients like $\dfrac{\sin x}{x}$, the Quotient Rule is the clean path.
- Choose whichever avoids the messier algebra.
A veces un producto es más sencillo
- Un cociente $\dfrac{f}{g}$ se puede reescribir como un producto $f\cdot g^{-1}$ y resolver con las reglas del Producto y la Potencia.
- Para denominadores simples, esto puede ser más rápido: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- Pero para cocientes reales de dos funciones como $\dfrac{\sin x}{x}$, la Regla del Cociente es el camino más limpio.
- Elija lo que evite el álgebra más complicada.
The quotient $\dfrac{x}{x^2}$ is fastest differentiated by... · El cociente $\dfrac{x}{x^2}$ se deriva más rápidamente mediante...
$\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — simpler than the Quotient Rule here. · $\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — más simple que la Regla del Cociente aquí.
The Quotient Rule numerator is $f'g - fg'$ — the order and the minus sign are the whole difficulty. Writing $fg' - f'g$ (reversed) negates your answer. And do not forget to square the denominator. Both mistakes are extremely common under time pressure.
El numerador de la Regla del Cociente es $f'g - fg'$ — el orden y el signo menos son toda la dificultad. Escribir $fg' - f'g$ (invertido) nega su respuesta. Y no olvide elevar el denominador al cuadrado. Ambos errores son extremadamente comunes bajo presión de tiempo.
Differentiate $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
Derive $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
The Quotient Rule: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "low d-high minus high d-low, over low-squared." Keep the numerator's order ($f'g$ first) and square the denominator. For simple cases, rewriting as a product $f g^{-1}$ can be easier.
La Regla del Cociente: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "bajo d-arriba menos arriba d-bajo, sobre bajo al cuadrado". Mantenga el orden del numerador ($f'g$ primero) y eleve al cuadrado el denominador. Para casos simples, reescribir como un producto $f g^{-1}$ puede ser más fácil.