Derivatives of cos x, sin x, eˣ, and ln x · Derivadas de cos x, sin x, eˣ y ln x
| English | Español |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | exponencial |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | logarítmica |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | derivadas elementales |
Four derivatives worth memorizing
- The Power Rule stops at powers of $x$. Beyond it lie the elementary functions.
- Four of them appear constantly, so their derivatives are worth knowing cold.
- They are $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, and $\ln x$.
- Learn these four and, with the earlier rules, you can differentiate a huge range of expressions.
Cuatro derivadas que vale la pena memorizar
- La Regla de la Potencia se detiene en las potencias de $x$. Más allá de ella se encuentran las funciones elementales.
- Cuatro de ellas aparecen constantemente, por lo que sus derivadas valen la pena conocerlas de memoria.
- Son $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ y $\ln x$.
- Aprende estas cuatro y, junto con las reglas anteriores, podrás derivar una gran variedad de expresiones.
The trig pair
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — note the minus sign.
- A handy check: the slope of $\sin x$ at $0$ is $1$ (steepest rise), and $\cos 0=1$. ✓
- (These require $x$ in radians — the clean formulas only hold there.)
El par trigonométrico
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — nota el signo menos.
- Una comprobación útil: la pendiente de $\sin x$ en $0$ es $1$ (el ascenso más pronunciado), y $\cos 0=1$. ✓
- (Estas requieren que $x$ esté en radianes — las fórmulas limpias solo son válidas allí).
The slope of sine is cosine · La pendiente del seno es el coseno
Where · Dónde $\sin x$ is steepest (at $0$) its slope is $1$ — exactly $\cos 0$. The derivative of $\sin$ is $\cos$. · Donde $\sin x$ es más empinado (en $0$), su pendiente es $1$ — exactamente $\cos 0$. La derivada de $\sin$ es $\cos$.
What is $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$? · ¿Cuál es $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$?
$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (mind the sign). · $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (ten cuidado con el signo).
The derivative of cosine is $-\sin x$. · La derivada del coseno es $-\sin x$.
The exponential and the logarithm
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — the exponential 指数 function is its own derivative. Its slope always equals its height.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — the logarithmic 对数 derivative, valid for $x>0$.
- $e^x$ is the unique function that never changes under differentiation.
- $\ln x$ turns into the simple reciprocal $\tfrac1x$ — a surprisingly tidy result.
La exponencial y el logaritmo
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — la función exponencial es su propia derivada. Su pendiente siempre es igual a su altura.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — la derivada logarítmica, válida para $x>0$.
- $e^x$ es la única función que no cambia bajo diferenciación.
- $\ln x$ se transforma en la sencilla recíproca $\tfrac1x$ — un resultado sorprendentemente limpio.
$e^x$ is its own derivative. · $e^x$ es su propia derivada.
$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — unique among functions. · $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — único entre las funciones.
What is $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (for $x>0$)? · ¿Cuál es $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (para $x>0$)?
$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
Mix them with the combining rules
- These elementary derivatives 基本导数 slot straight into the sum, difference, and constant-multiple rules.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- Differentiate each term with its own rule, then combine — nothing new to learn beyond the four facts.
Cóminalos con las reglas de combinación
- Estas derivadas elementales se integran directamente en las reglas de suma, diferencia y multiplicación por constante.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- Deriva cada término con su propia regla y luego combínalos; no hay nada nuevo que aprender más allá de esos cuatro hechos.
Differentiate $3\sin x-2e^x$. · Diferencie $3\sin x-2e^x$.
$3\cos x$ and · y $e^x$ stays $e^x$: $3\cos x-2e^x$. · $3\cos x$ y $e^x$ se mantiene como $e^x$: $3\cos x-2e^x$.
Select all · todos correct elementary derivatives. · Seleccione todas las derivadas elementales correctas.
The last is wrong — $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, not $x$. · La última es incorrecta — $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, no $x$.
Mind the signs and the domain. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (the minus is the top mistake). $e^x$ is its own derivative — do not apply the Power Rule to it. And $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ holds only for $x>0$, the domain of $\ln$.
Cuidado con los signos y el dominio. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (el menos es el error más común). $e^x$ es su propia derivada — no le apliques la Regla de la Potencia. Y $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ solo se cumple para $x>0$, el dominio del $\ln$.
Differentiate $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
Deriva $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
Memorize four elementary derivatives: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. They combine with the sum/difference/constant-multiple rules to differentiate mixed expressions. Watch the minus on $\cos$, keep $x$ in radians, and remember $e^x$ is its own derivative.
Memoriza cuatro derivadas elementales: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. Se combinan con las reglas de suma/diferencia/multiplicación por constante para derivar expresiones mixtas. Presta atención al menos en $\cos$, mantén $x$ en radianes y recuerda que $e^x$ es su propia derivada.