Discharging a capacitor · Descarga de un capacitor
| English | Español |
|---|---|
| discharge/dɪsˈtʃɑːdʒ/ | descarga |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | constante de tiempo |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | decaimiento exponencial |
The decay that never quite finishes
- A discharging capacitor loses 63% of its charge in the first time constant, then 63% of what remains in the next, and so on for ever.
- After five time constants less than 1% is left, but the curve never reaches zero. It cannot, because the rate of loss is always proportional to how much is left.
- Every quantity that behaves that way, radioactive decay included, gives the same curve, so learning it once serves twice.
- This lesson is the discharge 放电 equations, the time constant 时间常数, and the log plot that turns the curve into a straight line.
La desintegración que nunca termina del todo
- Un condensador descargándose pierde el 63% de su carga en la primera constante de tiempo, luego el 63% de lo que queda en la siguiente, y así sucesivamente para siempre.
- Después de cinco constantes de tiempo queda menos del 1%, pero la curva nunca llega a cero. No puede, porque la tasa de pérdida es siempre proporcional a cuánto queda.
- Cada cantidad que se comporta de esa manera, incluida la desintegración radiactiva, da la misma curva, por lo que aprenderla una vez sirve para dos.
- Esta lección trata sobre las ecuaciones de descarga 放电, la constante de tiempo 时间常数, y el gráfico logarítmico que convierte la curva en una línea recta.
Where the exponential comes from
- Close the switch and the capacitor's p.d. drives a current through the resistor. Kirchhoff's second law gives $V_C = V_R$, and with $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ and $I = -dQ/dt$:
- The rate of loss is proportional to the charge remaining. That is the defining property of exponential decay 指数衰减, and it is why the curve flattens as it falls.
De dónde proviene la exponencial
- Cierra el interruptor y la d.d.p. del condensador impulsa una corriente a través de la resistencia. La segunda ley de Kirchhoff da $V_C = V_R$, y con $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ y $I = -dQ/dt$:
- La tasa de pérdida es proporcional a la carga restante. Esa es la propiedad definitoria de la desintegración exponencial 指数衰减, y es por lo que la curva se aplana al caer.
During discharge through a resistor, the charge on a capacitor: · Durante la descarga a través de un resistor, la carga en un capacitor:
The bigger the charge, the bigger the current — giving an exponential decay. · Cuanto mayor es la carga, mayor es la corriente — lo que produce una decaimiento exponencial.
Why is a capacitor's discharge exponential? · ¿Por qué la descarga de un capacitor es exponencial?
Q/C = -R dQ/dt says exactly that. Every quantity with this property, radioactive decay included, gives the same curve. · Q/C = -R dQ/dt dice exactamente eso. Cada cantidad con esta propiedad, incluida la desintegración radiactiva, da la misma curva.
The three equations
- Charge, p.d. and current all decay together, with the same time constant:
- The current is largest at the instant the switch closes, $I_0 = V_0/R$, because the full initial p.d. is then across the resistor. It falls as the p.d. falls.
- The area under the current-time graph is the charge that has flowed. All three curves have the same shape, so measuring $\tau$ from any one of them gives $RC$.
Steep at first, then ever flatter, and never quite zero
Las tres ecuaciones
- Carga, d.d.p. y corriente decaen juntas, con la misma constante de tiempo:
- La corriente es mayor en el instante en que se cierra el interruptor, $I_0 = V_0/R$, porque la d.d.p. inicial completa está entonces en la resistencia. Disminuye a medida que cae la d.d.p.
- El área bajo la gráfica corriente-tiempo es la carga que ha fluído. Las tres curvas tienen la misma forma, por lo que medir $\tau$ desde cualquiera de ellas da $RC$.
Empieza empinada, luego cada vez más plana, y nunca exactamente cero
Charge / discharge curve · Curva de carga / descarga
The voltage rises (or decays) exponentially with time constant τ = RC. · El voltaje aumenta (o decae) exponencialmente con la constante de tiempo τ = RC.
Discharging a capacitor · Descarga de un capacitor
Q = Q₀·bᵗ
Charge · Carga decays · decae exponentially through the resistor. · La carga decae exponencialmente a través del resistor.
The charge during discharge is given by: · La carga durante la descarga viene dada por:
Discharge falls toward zero: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (the $1 - e^{-t/RC}$ form is for charging · cargando). · La descarga decrece hacia cero: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (la forma $1 - e^{-t/RC}$ es para cargar).
The time constant
- The time constant is:
- Its unit is the second, since an ohm times a farad is a second.
- It is the time for the decaying quantity to fall to $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ of its starting value. After $2\tau$ about 13.5% remains, and after $5\tau$ less than 1%.
- A large $R$ or a large $C$ means a slow discharge: a big store emptying through a narrow pipe.
La constante de tiempo
- La constante de tiempo es:
- Su unidad es el segundo, ya que un ohmio por un faradio es un segundo.
- Es el tiempo para que la cantidad que decae caiga a $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ de su valor inicial. Después de $2\tau$ queda aproximadamente el 13.5%, y después de $5\tau$ menos del 1%.
- Un $R$ grande o un $C$ grande significa una descarga lenta: un depósito grande vaciándose a través de una tubería estrecha.
A capacitor of $500\ \mu\text{F}$ discharges through a $2000\ \Omega$ resistor. What is the time constant? · Un capacitor de $500\ \mu\text{F}$ se descarga a través de un resistor de $2000\ \Omega$. ¿Cuál es la constante de tiempo?
$\tau = RC = 2000 \times 500 \times 10^{-6} = 1.0\ \text{s}$.
After one time constant, the charge falls to about ____ % of its starting value. · Después de una constante de tiempo, la carga disminuye a aproximadamente ____ % de su valor inicial.
It falls to $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, i.e. about 37%. · Disminuye a $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, es decir, aproximadamente 37%.
After 5 time constants, less than 1% of the charge remains. · Después de 5 constantes de tiempo, queda menos del 1% de la carga.
$e^{-5} \approx 0.0067$, so under 1% is left — effectively fully discharged. · $e^{-5} \approx 0.0067$, por lo que queda menos del 1% — efectivamente completamente descargado.
A capacitor charged to 24 V discharges through a 5.6 kilo-ohm resistor. What is the initial current, in mA? · Un capacitor cargado a 24 V se descarga a través de un resistor de 5.6 kilo-ohmios. ¿Cuál es la corriente inicial, en mA?
At the instant the switch closes the whole p.d. is across the resistor, so I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. It then decays with the same time constant as the charge. · En el instante en que se cierra el interruptor, toda la diferencia de potencial está sobre el resistor, así que I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. Luego decae con la misma constante de tiempo que la carga.
Worked example: a full discharge question
- A $470\ \mu\text{F}$ capacitor charged to $24\ \text{V}$ discharges through a $5.6\ \text{k}\Omega$ resistor. Find the time constant, the initial current, the p.d. after $4.0\ \text{s}$, and the time for the p.d. to fall to $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, and $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- After $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- For the time, take logarithms: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- Keep $\tau$ unrounded inside the calculation and round only at the end. And note that $\ln(V/V_0)$ is negative, so the minus sign makes $t$ positive: that rearrangement is the most often asked and the most often botched.
Ejemplo resuelto: una pregunta completa de descarga
- Un condensador de $470\ \mu\text{F}$ cargado a $24\ \text{V}$ se descarga a través de una resistencia de $5.6\ \text{k}\Omega$. Encuentra la constante de tiempo, la corriente inicial, la d.d.p. después de $4.0\ \text{s}$, y el tiempo para que la d.d.p. caiga a $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, y $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- Después de $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- Para el tiempo, toma logaritmos: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- Mantén $\tau$ sin redondear durante el cálculo y redondea solo al final. Ten en cuenta que $\ln(V/V_0)$ es negativo, por lo que el signo menos convierte a $t$ en positivo: ese reordenamiento es el más preguntado y el más frecuentemente fallido.
After one time constant, about 37% of the original charge remains on the capacitor. · Después de una constante de tiempo, queda aproximadamente 37% de la carga original en el capacitor.
It falls to 1/e of its starting value, about 37%. After two it is at about 13.5%, and after five below 1%, though it never quite reaches zero. · Disminuye a 1/e de su valor inicial, aproximadamente 37%. Después de dos está en aproximadamente 13.5%, y después de cinco está por debajo del 1%, aunque nunca llega exactamente a cero.
Worked example: reading $\tau$ off a graph
- The p.d. across a $2200\ \mu\text{F}$ capacitor falls from $6.0\ \text{V}$ to $2.2\ \text{V}$ in $4.5\ \text{s}$. Find the resistance.
- Check the ratio first: $2.2/6.0 = 0.367$, which is $1/e$. So $4.5\ \text{s}$ is one time constant.
- Then $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- If the fall is not to $1/e$, use $RC = -t/\ln(V/V_0)$ instead. The answer is the same either way, but spotting the $1/e$ saves a step.
Ejemplo resuelto: leer $\tau$ de un gráfico
- La d.d.p. a través de un condensador $2200\ \mu\text{F}$ cae de $6.0\ \text{V}$ a $2.2\ \text{V}$ en $4.5\ \text{s}$. Encuentra la resistencia.
- Comprueba primero la proporción: $2.2/6.0 = 0.367$, que es $1/e$. Por tanto, $4.5\ \text{s}$ es una constante de tiempo.
- Entonces $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- Si la caída no es hasta $1/e$, utiliza $RC = -t/\ln(V/V_0)$ en su lugar. La respuesta es la misma en ambos casos, pero detectar el $1/e$ ahorra un paso.
A capacitor with time constant 2.63 s is charged to 24 V. How long, in seconds, until the p.d. falls to 6.0 V? · Un capacitor con constante de tiempo 2.63 s se carga a 24 V. ¿Cuánto tiempo, en segundos, hasta que la diferencia de potencial disminuya a 6.0 V?
t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s. ln(0.25) is negative, so the minus sign makes t positive; that rearrangement is the most often botched. · t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s. ln(0.25) es negativo, así que el signo menos hace que t sea positivo; ese reordenamiento es el más frecuentemente mal ejecutado.
The log plot
- Take logarithms of $V = V_0 e^{-t/RC}$:
- So a graph of $\ln V$ against $t$ is a straight line with gradient $-1/RC$ and intercept $\ln V_0$.
- This is the standard experimental method: it turns a curve into a line, so $RC$ comes from a gradient rather than from a single reading, and any departure from a straight line shows the decay is not exponential.
El gráfico logarítmico
- Toma los logaritmos de $V = V_0 e^{-t/RC}$:
- Así, un gráfico de $\ln V$ contra $t$ es una línea recta con pendiente $-1/RC$ e intersección $\ln V_0$.
- Este es el método experimental estándar: convierte una curva en una línea, por lo que $RC$ se obtiene a partir de una pendiente en lugar de de una sola lectura, y cualquier desviación de una línea recta indica que la descomposición no es exponencial.
The p.d. across a 2200 uF capacitor falls from 6.0 V to 2.2 V in 4.5 s. Put the steps of finding the resistance in order. · La diferencia de potencial en un capacitor de 2200 uF disminuye de 6.0 V a 2.2 V en 4.5 s. Ordena los pasos para encontrar la resistencia.
If the fall is not to 1/e, use RC = -t/ln(V/V0) instead. The answer is the same, but spotting the 1/e saves a step. · Si la disminución no es a 1/e, usa RC = -t/ln(V/V0) en su lugar. La respuesta es la misma, pero detectar el 1/e ahorra un paso.
Marks that slip away
- $\tau = RC$ is a time, in seconds, not a fraction. After one $\tau$ the quantity is at 37%, not 63% gone and stopped.
- The current is largest at the start, when the whole p.d. is across the resistor, and it decays with the same time constant as the charge.
- To find a time, take logs: $t = -RC\ln(V/V_0)$. Keep the time constant unrounded through the working.
- On a $\ln V$ against $t$ plot the gradient is $-1/RC$, so $RC$ is minus the reciprocal of the gradient.
Puntos que se pierden fácilmente
- $\tau = RC$ es un tiempo, en segundos, no una fracción. Después de un $\tau$ la cantidad está al 37 %, no ha desaparecido el 63 % y se ha detenido.
- La corriente es mayor al principio, cuando toda la d.d.p. está en el resistor, y decae con la misma constante de tiempo que la carga.
- Para encontrar un tiempo, toma logaritmos: $t = -RC\ln(V/V_0)$. Mantén la constante de tiempo sin redondear durante el desarrollo.
- En un gráfico de $\ln V$ contra $t$ la pendiente es $-1/RC$, por lo que $RC$ es el opuesto del recíproco de la pendiente.
A graph of ln V against t for a discharging capacitor is a straight line. What is its gradient? · Una gráfica de ln V frente a t para un capacitor en descarga es una línea recta. ¿Cuál es su pendiente?
Taking logs of V = V0 exp(-t/RC) gives ln V = ln V0 - t/RC. So RC is minus the reciprocal of the gradient, and the straight line itself confirms the decay is exponential. · Tomando logaritmos de V = V0 exp(-t/RC) da ln V = ln V0 - t/RC. Así que RC es menos el recíproco de la pendiente, y la propia línea recta confirma que el decaimiento es exponencial.
You've got it
- the rate of loss is proportional to the charge left, so the decay is exponential: $Q = Q_0e^{-t/RC}$, and $V$ and $I$ decay identically
- the current starts at $I_0 = V_0/R$ and the area under the current-time graph is the charge that has flowed
- the time constant $\tau = RC$ is the time to fall to $1/e \approx 37\%$; after $5\tau$ less than 1% remains
- take logs to find a time, $t = -RC\ln(V/V_0)$, and a plot of $\ln V$ against $t$ is a straight line of gradient $-1/RC$
Lo has entendido
- la tasa de pérdida es proporcional a la carga restante, por lo que la descomposición es exponencial: $Q = Q_0e^{-t/RC}$, y $V$ y $I$ decaen idénticamente
- la corriente comienza en $I_0 = V_0/R$ y el área bajo el gráfico corriente-tiempo es la carga que ha fluído
- la constante de tiempo $\tau = RC$ es el tiempo para caer a $1/e \approx 37\%$; después de $5\tau$ queda menos del 1 %
- toma logaritmos para encontrar un tiempo, $t = -RC\ln(V/V_0)$, y un gráfico de $\ln V$ contra $t$ es una línea recta de pendiente $-1/RC$