الطول والنقطة المنتصف
| English | العربية |
|---|---|
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | قطعة مستقيمة |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | الوتر |
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | فيثاغورس |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | منتصف |
كم مسافة حقاً؟
- هاتفك يقول إن المقهى على بُعد 1.2 كم — لكن هذه هي المسافة الخطية، وليس المشي المتعرج على الشوارع.
- في الهندسة الإحداثية نحتاج غالباً إلى المسافة الخطية الدقيقة بين نقطتين.
- الأداة؟ نظرية عمرها 2500 عام.
عملية الطول والنقطة المنتصف
النقطة المنتصف تقع في المنتصف بين طرفي القطعة.
تحرك على طول قطعة مستقيمة وشاهد النقطة المنتصف كمنتصف المسافة.
طول القطعة المستقيمة (موسّع)
- القطعة المستقيمة هي الجزء المستقيم بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$.
- ارسم مثلثاً قائم الزاوية باستخدام القطعة المستقيمة كوترس:
- الفارق الأفقي هو $x_2 - x_1$ والفارق العمودي هو $y_2 - y_1$.
- وفقاً لـ فيثاغورس، الطول هو:
الفارق الأفقي (3) والفارق العمودي (4) يعطيان الطول طبقاً لفيثاغورس؛ النقطة الوسطى هي متوسط الإحداثيات
مثال محلول — الطول
- أوجد الطول من $(1, 2)$ إلى $(4, 6)$.
- الفارق الأفقي $= 4 - 1 = 3$؛ الفارق العمودي $= 6 - 2 = 4$.
- الطول $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
- المثلث القائم الكلاسيكي 3-4-5 يعطي إجابة نظيفة.
فيثاغورس يحدد الطول (الوتر)؛ والمتوسط يحدد النقطة الوسطى (النجمة).
من نقطة الأصل. الطول من $(0, 0)$ إلى $(3, 4)$: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. نفس المثلث، ونقطة بداية مختلفة.
أوجد طول القطعة من (1, 2) إلى (4, 6).
√((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
أوجد طول القطعة من (0, 0) إلى (3, 4).
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. المثلث الشهير 3-4-5.
أوجد طول القطعة من (1, 5) إلى (7, 5).
كلا النقطتين لهما y = 5 (قطعة أفقية). الطول = 7 − 1 = 6.
النقطة الوسطى لقطعة مستقيمة (متقدمة)
- النقطة الوسطى هي النقطة التي تقع تماماً في المنتصف بين النقطتين الطرفيتين.
- أوجدها عن طريق متوسط كل إحداثي:
- إنه "النصف" $x$ مقترن بـ"النصف" $y$.
مثال محلول — النقطة الوسطى
- أوجد النقطة الوسطى من $(1, 2)$ إلى $(4, 6)$.
- نص $x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$.
- نص $y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
- النقطة الوسطى $= (2.5,\, 4)$ — في منتصف المسار تماماً.
المجموع لا ينفع. النقطة الوسطى لـ $(1, 2)$ و $(4, 6)$ هي $(2.5, 4)$، وليس $(5, 8)$. يجب أن تقسم على 2 — المتوسط الحسابي، وليس الجمع.
النقطة المنتصف للنقطتين (1, 2) و (4, 6) هي (a, 4). ما هي a؟
احسب المتوسط للأرقام x: (1 + 4)/2 = 2.5.
النقطة المنتصف للنقطتين (2, 3) و (8, 9) هي (5, b). ما هي b؟
احسب المتوسط للأرقام y: (3 + 9)/2 = 6.
الإحداثي x للنقطة المنتصف للنقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂) هو:
النقطة المنتصف هي متوسط كل إحداثي: (x₁ + x₂)/2. الخيار 2 ينسى القسمة؛ والخيار 3 يعطي نصف الفاصل، وليس الموقع.
أكمل: إحداثي x للنقطة المنتصف = (x₁ + ______) / 2.
إحداثي x للنقطة المنتصف هو متوسط قيمتي x: (x₁ + x₂)/2.
عائلة مثلث 3-4-5
- المثلث الذي أطوال أضلاعه $3, 4, 5$ هو أصغر مثلث قائم بأضلاع أعداد صحيحة.
- المضاعفات تعمل أيضاً: $6, 8, 10$ و $9, 12, 15$ هي أيضاً مثلثات قائمة.
- ستجد هذه العائلة بكثرة في أسئلة الامتحانات — تعرف عليها ووفر وقتك.
بالنسبة لقطعة أفقية (متساوية قيمتا y)، الطول هو ببساطة الفرق بين قيمتي x.
عندما y₁ = y₂، تبسط الصيغة إلى √((x₂−x₁)²) = |x₂ − x₁|.
طابق كل قطعة مع طولها.
(0,0)–(5,0) أفقية، طولها 5. (1,1)–(1,4) عمودية، طولها 3. (0,0)–(6,8): √(36+64) = √100 = 10. (2,3)–(5,7): √(9+16) = √25 = 5.
لقد فهمت الأمر
- الطول $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (فيثاغورس على الفوارق الأفقية والعمودية)
- النقطة الوسطى $= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \; \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$ (متوسط كل إحداثي)
- من $(1,2)$ إلى $(4,6)$: الطول $5$، النقطة الوسطى $(2.5,\, 4)$
- المثلث القائم 3-4-5 يظهر غالباً — حددَه مبكراً