الرياضيات: لماذا يثبت البرهان أكثر من الأمثلة؟
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | فرضية |
| proof/pruːf/ | إثبات |
| induction/ɪnˈdʌkʃn/ | الاستدلال بالتراجع |
يبدو أن هناك نمطاً مستمراً
- أول عدد فردي هو 1؛ مجموع أول عددين هو 4؛ مجموع أول ثلاثة أعداد هو 9. يدعي طالب أن مجموع أول n من الأعداد الزوجية الموجبة دائماً يساوي n².
- الفرضية هي عبارة مقترحة بانتظار التبرير. التحقق من ثلاث حالات يشير إلى وجود نمط، لكنه يترك ما لا نهاية من الأعداد الصحيحة الموجبة دون فحص.
صغ الادعاء ومجاله
- يتعلق الادعاء بكل عدد صحيح موجب n والقائمة 1، 3، 5، حتى 2n−1. ولا يتعلق بأي مجموعة اختيارية من الأعداد الزوجية.
- الإثبات يقدم سلسلة من الأسباب الصالحة التي تغطي المجال المُصاَغ. يمكن لمثال مضاعف واحد أن يحطم ادعاءً شاملاً، بينما لا تُثبت الأمثلة الناجحة الكثيرة ذلك بمفردها.
ماذا تثبت المجاميع 1، 4 و 9 بمفردها؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الملاحظات المحدودة لا تغطي المجال بالكامل.
اشرح كيف يتبع الحالة التالية
- افترض أن مجموع أول n من الأعداد الزوجية الموجبة يساوي n². العدد الفردي التالي هو 2n+1، لذا يكون المجموع التالي n²+2n+1=(n+1)². تعمل هذه الخطوة لأي عدد صحيح موجب n.
- الحالة الأساسية هي n=1، حيث يكون المجموع 1=1². البدء من هناك وتطبيق الخطوة العامة يرسخ حالة كل عدد صحيح موجب متتالي.
ما هو العدد الفردي التالي بعد 2n−1؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الأعداد الفردية المتتالية تختلف بمقدار 2.
تحقق مما تفترضه البرهان
- هذا الاستدلال الاستقرائي: حالة أساسية صالحة بالإضافة إلى خطوة من أي حالة إلى الحالة التالية. كلا الجزأين مهمان. لا تُرسخ الخطوة وحدها أن السلسلة تبدأ.
- اسأل عن صحة الجبر وتعريف الحد التالي والمجال. قد يؤدي خطأ حسابي أو تغيير التسلسل الأساسي إلى بطلان البرهان.
خطوة الاستدلال الصحيح كافية حتى عند عدم establishment حالة البداية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
التحول العام يحتاج إلى حالة مثبتة تبدأ منها السلسلة.
لماذا لا يُعد المجموع 3+5+7=15 مثالاً مضاداً؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تختلف هذه القائمة عن تلك المذكورة في الادعاء.
قارن الإثبات بالملاحظة بإنصاف
- السبب في الثقة هو السلسلة العامة، وليس عدد الأمثلة المختبرة. يمكن لمخطط لبضع مربعات أن يوضح الفكرة، لكن الحجة يجب أن توضح لماذا يتم تعميم البناء.
- اسأل عن الفرق بين التبرير الرياضي وفحص الملاحظات المتكررة. لا تستنتج أن البراهين تحسم الادعاءات خارج افتراضاتها أو أن الاختبار التجريبي ليس له قيمة في مجاله الخاص.
طابق كل جزء من البرهان مع دوره.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يجب أن يربط البرهان بين بدايته، وانتقاله، ومجاله.
أي الأسباب تدعم الادعاء الكلي؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
التفكير العام، جنبًا إلى جنب مع بداية صالحة، يرسخ المجال.
بالنسبة لـ n=1، يكون المجموع 1. افترض أن المجموع حتى 2n−1 يساوي n². عند إضافة 2n+1 نحصل على n²+2n+1، وهو ما يساوي (n+1)². الحالة الأساسية والانتقال العام يثبتان الادعاء لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة. مجموع القائمة 3,5,7 هو 15، وليس 9، لأنها لا تبدأ من 1. تلك القائمة المختلفة تقع خارج الادعاء الأصلي، وليست دليلاً مضاداً له.
لا تستخدم التحقق الناجح الآلي لـ n=100 كبديل للانتقال العام. فهو يفحص حالة واحدة إضافية فقط.
حدد المجال، برر حالة البداية، وأسس خطوة عامة صالحة؛ واشرح بدقة ما يغطيه الإثبات الناتج.