الدوال الأسية واللوغاريتمات والنمذجة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| half-life/hɑːf laɪf/ | نصف العمر |
لماذا يظل نموذج التناقص موجباً؟
- تركيز الدواء ينخفض بنفس النسبة المئوية كل ساعة. والطرح الثابت سيؤدي حتماً إلى توقع كمية سالبة.
- تدرس هذه الدرس عمر النصف: الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة لـ y=Ae^(kt)، k هو معدل طردي. بأخذ اللوغاريتمات نحصل على ln y=ln A+kt. تتطلب اللوغاريتمات موجبات كمدخلات، ولوغاريتم (x+y) لا يساوي لوغاريتم x + لوغاريتم y.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا يعتبر ln(x+y)=ln x+ln y خاطئاً؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
التصاعدات (اللوغاريتمات) تحول الضرب إلى جمع: ln(xy)=ln x+ln y. جرب x=y=1: ln 2≈0.69 لكن ln 1+ln 1=0، لذا تفشل القاعدة المدعومة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
إذا كانت y=80e^(-0.2t)، فإن y=40 تعطي e^(-0.2t)=1/2. ومنه t=ln2/0.2≈3.466. ولـ 3^x=20، فإن x=ln20/ln3. ورسم ln y مقابل t يخطي هذا النموذج الأسّي.
الدوال الأسية واللوغاريتمات والنمذجة
من أجل y = Ae^(kt)، k هو معدل متناسب.
اشرح لماذا يعتمد عمر النصف على 0.2 وليس على المبلغ الابتدائي 80.
حل 2^x = 32.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
32=2⁵، لذا x=5.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- النموذج الأسي المُناسب هو مجرد نموذج، وليس ضماناً. حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام. وk السالب يصف التناقص؛ والقيمة الابتدائية السالبة تتناقض عادة مع السياق.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
بالنسبة لـ x و y الموجبين، ln(x+y)=ln x+ln y. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.
أوجد ln(e³).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
اللوغاريتم الطبيعي يلغي عملية الأس: ln(e³) = 3.
من أجل x و y الموجبتين، ln(x+y) = ln x + ln y.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
النموذج الأسي الملائم هو نموذج وليس ضماناً. حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام. تصف k السالبة التناقص؛ عادة ما يتعارض المبلغ الابتدائي السلبي مع السياق.
تفسير موقف جديد
- قارن الملاحظات الفعلية مع النموذج. الانحرافات المنهجية قد تشير إلى تغير الظروف. وفي التقرير، اشرح ماذا يعني المعدل والقيمة الابتدائية، بدلاً من تقديم معادلة عارية.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد عمر النصف لـ 80e^(-0.2t)، إلى ثلاثة أرقام عشرية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ضع e^(-0.2t)=1/2. عندها t=ln(2)/0.2≈3.466 إلى ثلاثة أرقام عشرية.
طابق كل كمية في النموذج الأسي بمعناها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
أخذ اللوغاريتم يحول y=Ae^(kt) إلى ln y=ln A+kt، وهو خط مستقيم ميله هو المعدل k.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.