المشتقات والنقاط الثابتة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
ما هو الميل عند نقطة واحدة؟
- الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
- تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1). النقطة الثابتة تحقق dy/dx=0. تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
عند x=0، المنحنى y=x³ له dy/dx=0. لماذا لا يُعدّ نقطة نهاية محلية عظمى أو صغرى؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المشتق 3x² موجب على كلا جانبي x=0، لذا النقطة ثابتة لكن الدالة تستمر في الارتفاع - نقطة انعطاف. التصنيف يتطلب تغير الإشارة أو المشتقة الثانية، وليس مجرد dy/dx=0.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.
المشتقات والنقاط الثابتة
لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1)
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
لـ y=x³-3x، أوجد dy/dx عند x=2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx=3x²-3. عند x=2 هي 12-3=9.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- لا يعني الصفر في المشتقة دائماً وجود عظمى أو صغرى: دالة y=x³ ثابتة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة. يمكن أيضاً أن تنتج نقطة نهاية قيمة حدية على مجال محدد.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل نقطة لها مشتقة صفرية هي عظمى محلية أو صغرى محلية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
أوجد الإحداثي y للنقطة الثابتة عند x=1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
عوض في المنحنى الأصلي: y(1)=1-3=-2.
كل نقطة ذات مشتقة صفرية هي حد أقصى محلي أو حد أدنى محلي.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المشتقة الصفرية لا تعني دائمًا وجود حد أقصى أو أدنى: y=x³ ثابتة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة. يمكن أيضًا أن تُنتج نقطة النهاية قيمة قصوى على مجال محدود.
تفسير موقف جديد
- في مستوى GCSE/IGCSE استخدم فقط نطاق كثيرات الحدود المسموح به حسب المستوى؛ لا تضيف قواعد السلسلة والجداء والقسمة هناك. في المستويات المتقدمة، ربط المشتقة بالمعدلات والتحسين مع مجال صالح.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
بالنسبة لـ y=4x³، أوجد dy/dx عند x=2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المشتقة هي 12x²؛ عند 2 هي 12×4=48.
طابق كل حقيقة للمشتق مع العبارة المقابلة لها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
قاعدة القوة تُقلّل الأس بمقدار واحد؛ والمشتقة الأولى الصفرية تشير إلى مرشح، بينما تصنفه المشتقة الثانية أو فحص التغير في الإشارة.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.