المتتاليات والمتسلسلات
Introduced| English | العربية |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | تسلسل |
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | متتالية حسابية |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | متتالية هندسية |
| series/ˈsɪəriːz/ | التوالي |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | الفرق المشترك |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | النسبة المشتركة |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | المجموع إلى ما لا نهاية |
طابق القاعدة بالتسلسل
- توفير مبلغ ثابت كل فترة يعطي تسلسلاً حسابياً إذا لم يتغير شيء آخر. ضرب المبلغ الحالي في عامل ثابت يعطي تسلسلاً هندسياً.
- قد تتضمن مشكلة مالية دفعات ثابتة أو فائدة أو كليهما. حدد قاعدتها المعلومة بدلاً من افتراض أن كل مسألة مالية هندسية.
استثمار ينمو بنسبة 4% كل عام. إلى أي عائلة ينتمي؟
النسبة المئوية هي عامل وليس مقداراً، لذا يُضرب كل عام في 1.04.
احتفظ بمؤشر الحد صريحاً
- التسلسل هو قائمة مرتبة؛ السلسلة تجمع حدوده. الحسابي يستخدم الفرق المشترك d و$u_n=a+(n-1)d$.
- الهندسي يستخدم النسبة المشتركة r و$u_n=ar^{n-1}$. إذا كانت القيمة الابتدائية $u_1$، فإن خمس عمليات ضرب مكتملة تعطي $u_6$؛ إذا كان النموذج يستخدم الوقت n بدءاً من الصفر، اكتب ذلك约定 بدلاً منه.
المتتالية الحسابية مقابل الهندسية
عامل ثابت يتجاوز في النهاية مقداراً ثابتاً، مهما كان هذا المقدار كبيراً.
تتبع حسابي يبدأ عند 5 مع الفرق المشترك 3. ما هو الحد رقم 10؟
u₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32. تسع خطوات من الحد الأول، وليس عشرة.
المجموع يختلف عن الحد
- تستخدم المجاميع الحسابية $S_n=n[2a+(n-1)d]/2$. تستخدم المجاميع الهندسية $S_n=a(1-r^n)/(1-r)$ لـ $r\ne1$، أو na عندما $r=1$.
- بالنسبة لـ a غير الصفر، يوجد مجموع لا نهائي فقط عندما $|r|<1$، مما يعطي $S_\infty=a/(1-r)$. إذا كان a يساوي صفرًا، فإن كل حد ومجموع يساوي صفرًا.
بالنسبة لحد أول غير صفري، تكون متسلسلة هندسية لها مجموع محدود لا نهائي فقط عندما...
من أجل a غير صفري، يتطلب التقارب أن |r| < 1. عندما |r| ≥ 1، فإن الحدود لا تميل إلى الصفر؛ قد تتباعد المجاميع الجزئية أو تتذبذب، بدلاً من النمو دائماً نحو ما لا نهاية الموجب.
نموذج إهلاك محدد. القيمة الأولية 80000 وحدة تفقد 12% سنويًا، دون تغييرات أخرى. $V(n)=V_0(1-r)^n$، لذا $V(5)=80000(0.88)^5=42218.553344$ وحدة. هذه 42200 لأقرب 100، وليست قيمة دقيقة لـ 42200.
آلة قيمتها 80000 تفقد 12% سنوياً. كم تساوي قيمتها بعد 5 سنوات، لأقرب 100؟
80000 × 0.88⁵ = 42218.553344، والتي تُقرب إلى 42200 لأقرب 100. النسبة المحتفظ بها تُضرب خمس مرات.
استخدم المجموع للسعة الإجمالية. الصفوف ذات العدادات 12 و14 و16 وما إلى ذلك تعطي $u_{15}=40$، لكن $S_{15}=390$. الصفحة 2.1 تقارن حدًا فرديًا، وإجمالي محدود، ونموذجًا رياضيًا أفقيًا لا نهائيًا.
بالنسبة للحد الأول غير الصفر، تمنع النسب ذات الحجم 1 فأكثر تقارب المتسلسلة الهندسية اللانهائية. لا تنتج جميعها مجاميع تنمو نحو ما لا نهاية موجب: النسبة -1 تجعل المجامجز الجزئية تتناوب. حدد فشل التقارب بدقة.
فقدان 12% سنوياً لمدة خمس سنوات يعني فقدان 60% إجمالاً.
0.88⁵ = 0.528، لذا يُفقد حوالي 47%. تخفيض كل عام يطبق على مقدار أصغر من السابق.