المعادلات التفاضلية والحلول العددية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | شرط ابتدائي |
ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟
- معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
- تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.
اختر البنية الرياضية
- افصل المتغيرات في dy/dx=ky، وأكامل كلا الطرفين وطبق شرطاً أولياً. بما في ذلك أي حل توازن مستبعد عند القسمة على y.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
بالنسبة لـ dy/dx=0.5y مع y(0)=2، ماذا يحدد الشرط الأولي؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الفصل يعطي العائلة y=Ae^(0.5x) مع ثابت حر. بتعويض x=0، y=2 نثبت A=2، مما يختار حلاً خاصاً واحداً من العائلة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بما أن dy/dx=0.5y و y(0)=2، فإن الفصل يعطي ln|y|=0.5x+C، ومنه y=Ae^(0.5x). القيمة الابتدائية تعطي A=2. اشتق النتيجة للتحقق من المعادلة، وعوّض x=0 للتحقق من الشرط الابتدائي.
المعادلات التفاضلية والحلول العددية
افصل المتغيرات في dy/dx=ky، وأكمل تكامل الطرفين وطبّق شرطًا ابتدائيًا.
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
بالنسبة لـ y=2e^(0.5x)، أوجد y(0).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
عند x=0، e⁰=1، وبالتالي y=2.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- تحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ ولا يحل محل عملية التكامل. القسمة على y قد تستبعد حلاً متوازياً y=0. دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
لا يغير الشرط الأولي أبداً الثابت في حل المعادلة التفاضلية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
بالنسبة لذلك الحل، أوجد المشتقة الأولية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
اشتق y=2e^(0.5x): المشتقة الأولى = e^(0.5x). عند الصفر تكون القيمة 1.
الشرط الأولي لا يغير أبداً الثابت في حل المعادلة التفاضلية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ ولا يحل محل عملية التكامل. القسمة على y قد تستبعد حلاً توازنيًا y=0. دقة أويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.
تفسير موقف جديد
- تستخدم هذه الوحدة الفصل من الرتبة الأولى والشروط الأولية. تم استبعاد التكامل العددي لإيلر والدوال المكملة من الرتبة الثانية من هذا الدرس.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
بالنسبة لذلك الحل، أوجد قيمة y مقسومة على e عندما x=2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
عند x=2، y=2e، ومنه y/e=2.
طابق كل خطوة بغرضها في حل dy/dx=ky.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الفصل يجمع كل متغير في طرف؛ التكامل يعطي العائلة؛ والشرط الأولي يختار الحل الخاص.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- رياضيات edexcel IAL؛ الوحدة الرسمية P4. يتم تحديد إثراء الوحدات الأخرى في مراجعة النطاق؛ ولا يعتبر شرطًا إضافيًا للدفع.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.