Root finding and numerical integration
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | تكرار |
ما مدى موثوقية التقريب؟
- المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
- تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة لعرض شريط متساوي h، التقدير بشبه المنحرف هو h/2 مضروبًا في مجموع ارتفاعي endpointين زائد ضعف الارتفاعات الداخلية.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
f(x)=1/x changes sign between -1 and 1. Why does this NOT prove a root in [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The intermediate value reasoning requires continuity on the whole interval. At the asymptote x=0 the function jumps from negative to positive with no root existing.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ y=x² على [0,2] مع شريطين متساويين، h=1 والارتفاعات هي 0,1,4. التقدير هو (1/2)(0+2×1+4)=3. المساحة الدقيقة هي 8/3، لذا فإن هذا المنحنى المحدب يعطي تقديرًا زائدًا.
Root finding and numerical integration
For equal strip width h, the trapezium estimate is h/2 times the sum of the two endpoint heights plus twice the internal heights
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the strip width for two equal strips from 0 to 2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Strip width=(2-0)/2=1.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- استخدم أشرطة بعرض متساوٍ وشمل الارتفاعات الداخلية مرتين. الانحناء يحدد ما إذا كان التقدير فوق أو تحت المساحة الدقيقة؛ وأن الدالة متزايدة وحدها لا يكفي لذلك.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
الدالة المتزايدة دائمًا تعطي تقديرًا زائدًا بشبه المنحرف. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض تخالفه.
Use two strips for the trapezium estimate of integral x² from 0 to 2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
h=1 with heights 0,1,4 gives (1/2)(0+2×1+4)=3.
An increasing function always gives a trapezium overestimate.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Use equal strip widths and include internal heights twice. Curvature decides whether the estimate is above or below the exact area; being increasing alone does not.
تفسير موقف جديد
- يُقدم P2 قاعدة شبه المنحرف. تنتمي طرق نيوتن-رافسون وغيرها من طرق إيجاد الجذور إلى وحدات أخرى مسماة؛ فهي ليست جزءًا من هذا الدرس P2.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Find the exact integral of x² from 0 to 2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The exact integral is [x³/3] from 0 to 2=8/3.
Match each numerical method to its update or rule.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Each method has its own conditions: bisection needs a continuous sign change, Newton needs a nonzero derivative, and the trapezium rule needs equal strip widths.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- رياضيات edexcel IAL؛ الوحدة الرسمية P2. يتم تحديد التثري من الوحدات الأخرى في مراجعة النطاق؛ ولا يُعد شرطًا إضافيًا للحصول على نقاط إضافية.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق له. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.