المقلوب والمحددة لمصفوفة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | المصفوفة العكسية |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | المحدد |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | المصفوفة المحايدة |
| not invertible/nɒt ɪnˈvɜːtɪbl/ | غير قابلة للعكس |
إلغاء عمل المصفوفة
- الضرب في مصفوفة يحوّل الفضاء — لكن هل يمكنك إلغاء ذلك؟
- بالنسبة للأرقام العادية، القسمة على $5$ تلغي الضرب في $5$.
- للمصفوفات "عكس" خاص بها — وهي المصفوفة العكسية.
- أولاً نحتاج رقماً واحداً يحدد ما إذا كان العكس موجودًا أصلاً: المحدد.
المحدد
- محدّد $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ هو الرقم المفرد $ad - bc$.
- هندسياً، مقدارها هو مساحة متوازي الأضلاع الذي ترسمه الأعمدة.
- المحدد الكبير يعني أن المصفوفة تمدد المساحة كثيراً؛ الصغيرة، قليلاً جداً.
- يعني أن المحدد صفرًا أن الأعمدة متطابقة — مما يجعل متوازي الأضلاع مسطحًا.
بالنسبة لـ $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$، المحددة هي $3\cdot2 - 1\cdot1$. ما هي؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المحددة لـ $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ هي $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$.
هندسياً، tells لك حجم محددة 2 × 2 …
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
القيمة المطلقة للمحددة هي المساحة المضروبة في المصفوفة — الصفر يعني أن الأعمدة متوازية.
المعكوس
- المصفوفة العكسية $A^{-1}$ هي المصفوفة التي تلغي $A$.
- ضربهما يعطي مصفوفة الوحدة $I$ — وهي نسخة المصفوفة من $1$: $A A^{-1} = I$.
- لمصفوفة $2\times2$، $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$.
- لاحظ أن المحدد $ad - bc$ موجود في المقام.
ضرب مصفوفة في مقلبتها يعطي مصفوفة الوحدة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
وفقاً للتعريف $A A^{-1} = I$، مصفوفة الوحدة — وهي نسخة المصفوفة للرقم $1$.
متى يوجد معكوس
- لا يمكنك القسمة على $ad - bc$ إذا كان صفرًا — لذا فإن المحدد الصفري يعني عدم وجود معكوس.
- تكون هذه المصفوفة غير قابلة للعكس: فهي تضغط المستوى على خط وتفقد المعلومات.
- يضمن المحدد غير الصفري وجود معكوس فريد.
- لذا فإن المحدد هو الاختبار السريع: غير صفري $\Rightarrow$ قابل للعكس.
المحددة هي عامل مساحة
تخبرك المحددة بمدى مضاعفة المصفوفة للمساحة؛ هنا تضرب المساحة بأربعة.
المصفوفة 2 × 2 لها مقلوب تماماً عندما تكون محددها…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إذا $\det = 0$ تكون الأعمدة متوازية ولا يوجد مقلوب — المصفوفة غير قابلة للعكس.
حدد جميع العبارات الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المصفوفات ذات المحدد غير الصفري فقط هي القابلة للعكس، لذا ليست كل مصفوفة لها معكوس.
أهمية ذلك
- يحل المعكوس معادلة مصفوفية $A\vec{x} = \vec{b}$ في خطوة واحدة: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.
- هذا هو بالضبط كيفية حل نظام معادلات خطية باستخدام المصفوفات.
- يخبر المحدد أيضًا متى يكون للنظام لا يوجد حل فريد (det $= 0$).
- هذه المفاهيم تقود رسومات الحاسوب والتشفير وعلوم البيانات.
تكون للمصفوفة معكوس فقط عندما يكون محددها غير صفري. إذا $ad - bc = 0$، تنقسم الصيغة على صفر — لا يوجد معكوس، ونظام $A\vec{x} = \vec{b}$ إما ليس له حل أو له عدد لا نهائي من الحلول. تحقق دائمًا من المحدد أولاً.
أوجد معكوس $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
- المحدد: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (غير صفري، لذا يوجد معكوس).
- استبدل القطر الرئيسي، عكّر إشارات القطر الثانوي، واقسم على $5$:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- تحقق: $A A^{-1} = I$. ✓
المحدد $ad - bc$ هو رقم واحد يقيس المساحة التي تضاعفها المصفوفة. المعكوس $A^{-1}$ يلغي عمل المصفوفة، مع $A A^{-1} = I$ (مصفوفة الوحدة). يوجد المعكوس فقط عندما يكون المحدد غير صفري؛ المحدد الصفري يعني أن المصفوفة غير قابلة للعكس.