السلاسل الحسابية والهندسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | السلسلة الحسابية |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | الفرق المشترك |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | السلسلة الهندسية |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | النسبة المشتركة |
| explicit/ekˈsplɪsɪt/ | صريح |
| recursive/rɪˈkɜːsɪv/ | تكراري |
طريقتان لنمو قائمة
- ابدأ من $2$ واستمر في الإضافة $2$: تحصل على $2, 4, 6, 8, \dots$
- ابدأ من $1$ واستمر في التضعيف: تحصل على $1, 2, 4, 8, \dots$
- كلاهما قوائم مرتبة للأرقام — متتاليات — لكن ينموان بطرق مختلفة تماماً.
- الأولى تضيف نفس المقدار؛ والثانية تضرب في نفس المقدار.
الحسابية: أضف نفس المقدار
- المتتالية الحسابية تضيف عدداً ثابتاً للحصول من كل حد إلى الذي يليه.
- هذا العدد الثابت هو الفرق المشترك.
- في $5, 8, 11, 14, \dots$ الفرق المشترك هو $+3$.
- عند الرسم، تقع الحدود على خط مستقيم — نمو ثابت، خطي.
السلسلة الحسابية لها… ثابت
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
كل حد هو الحد السابق زائد فرق مشترك ثابت — هذا الجمع المنتظم يجعلها حسابية.
الهندسية: اضرب في نفس المقدار
- المتتالية الهندسية تضرب في عدد ثابت في كل خطوة.
- هذا العدد الثابت هو النسبة المشتركة.
- في $3, 6, 12, 24, \dots$ النسبة المشتركة هي $\times 2$.
- عند الرسم، تنحني الحدود صعوداً بشكل متزايد حدة.
مرر عبر حد السلسلة حدًا تلو الآخر
غيّر النسبة المشتركة وشاهد السلسلة الهندسية تنحني لأعلى أسرع بكثير من أي سلسلة حسابية.
السلسلة الهندسية لها… ثابت
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
كل حد هو الحد السابق ضرب نسبة مشتركة ثابتة — الضرب المنتظم يجعلها هندسية.
قواعد صريحة وتكرارية
- القاعدة الصريحة تقفز مباشرة لأي حد: الحسابية $a_n = a_1 + (n-1)d$؛ الهندسية $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$.
- القاعدة التكرارية تبني كل حد من السابق له: $a_n = a_{n-1} + d$ أو $a_n = a_{n-1} \cdot r$.
- الصيغة الصريحة الأفضل لإيجاد الحد 100 دون سرد البقية.
- التكرارية تحاكي كيفية توليد المتتالية فعلياً، خطوة بخطوة.
قاعدة ____ تحدد كل حد باستخدام الحد الذي قبله.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
قاعدة تردادية مثل $a_n = a_{n-1} + 3$ تُبنى من الحد السابق؛ قاعدة صريحة تقفز مباشرة إلى $a_n$.
تبدأ المتتالية الهندسية بـ $3, 6, 12, 24, \dots$. ما هو الحد رقم 5؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
النسبة المشتركة هي $2$، لذا فإن الحد رقم 5 هو $24 \times 2 = 48$.
أيهما ينمو أسرع
- في البداية، قد تكون المتتالية الحسابية متقدمة.
- لكن أي متتالية هندسية بنسبة $> 1$ ستتجاوزها في النهاية — ثم تبتعد بسرعة.
- الإضافة خطية؛ والضرب أسّي، والأسّي يفوز دائماً على المدى الطويل.
- هذا هو نفس التباين الذي يفصل بين الدوال الخطية والأسية.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول هذه السلاسل.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يمكن للسلاسل أن تبدأ بأي قيمة. الخيارات الثلاثة الأخرى تصفر الفرق بين الإضافة والضرب بشكل صحيح.
تحقق مما إذا كانت القائمة تضيف أم تضرب قبل تسميتها. $2, 4, 6, 8$ (إضافة 2) هي حسابية، بينما $2, 4, 8, 16$ (ضرب 2) هي هندسية — الحدان الأولان يبدوان متطابقين، لذا اختبر دائماً حداً ثالثاً.
أوجد 6 الحد من $4, 12, 36, \dots$.
- النسبة: $12 \div 4 = 3$، إذن هذه هندسية بـ $r = 3$.
- القاعدة الصريحة: $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$.
- الحد السادس: $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
المتتالية الحسابية تضيف فرقاً مشتركاً؛ والمتتالية الهندسية تضرب في نسبة مشتركة. اكتبها إما بقاعدة صريحة (القفز لأي حد) أو قاعدة تكرارية (البناء من الحد السابق). النمو الهندسي يتجاوز الحسابي في النهاية.