تحولات الدوال
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| translation/trænˈsleɪʃn/ | إزاحة |
| dilation/daɪˈleɪʃn/ | توسع |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | انعكاس |
| domain/dəˈmeɪn/ | مجال التعريف |
| range/reɪndʒ/ | المجال |
حركه، شدّه، قلبه
- احفظ شكل دالة "أصلية" واحدة، وستحصل على عائلة كاملة مجاناً.
- اسحبها، مددها، أو قلبها، وتتغير المعادلة بطريقة يمكن التنبؤ بها.
- كل رسم منحني مُحوَّل هو مجرد الدالة الأصلية بعبارة تعديل صغيرة.
- أتقن أربع تحولات ويمكنك رسم آلاف الدوال بصرياً.
الإزاحات: تحريك المنحنى
- الإزاحة تحرك المنحنى دون تغيير شكله.
- إضافة خارجي، $f(x) + k$، يُزيحه عمودياً بمقدار $k$ (لأعلى إذا كان موجباً).
- استبدال $x$ بـ $(x - h)$ داخلياً يُزيحه أفقياً بمقدار $h$.
- التغيرات الخارجية تؤثر على المخرجات (أعلى/أسفل)؛ والتغيرات الداخلية تؤثر على المدخلات (يمين/يسار).
إضافة ثابت خارج الدالة، $f(x) + 3$، تنقل المنحنى…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الإضافة خارجية تغير المخرج مباشرة، لذا يرتفع كل نقطة بمقدار 3 — نقل رأسي للأعلى.
التكبيرات والعكس
- التكبير يمدد أو يضغط الرسم البياني: $a\,f(x)$ مع $a > 1$ يمدده ليصبح أطول.
- العكس يقلبه: $-f(x)$ يعكسه عبر محور x؛ و$f(-x)$ يعكسه عبر محور y.
- الكسر مثل $0.5\,f(x)$ يضغط الرسم البياني نحو محور x.
- هذه التحولات تعيد تشكيل الرسم البياني؛ بينما الإزاحة تحركه فقط.
مد، اقلب، وانقل قطعاً مكافئاً
y = a·f(b(x − h)) + k
ابدأ بـ y = x². اجعل السالب لعكسه، واجعله كبيراً لتمديده، وغير c لتزاحمه للأعلى أو للأسفل.
ضرب الدالة كاملة بـ $-1$، مما ينتج $-f(x)$، يُنتج ____ عبر محور x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
السالب الخارجي يعكس إشارة كل مخرج، مما يعكس المنحنى عبر محور x.
القاعدة الرئيسية
- كل تحول ينطبق على قالب واحد: $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$.
- $a$ = تمدد رأسي/انعكاس، $b$ = تمدد أفقي/انعكاس، $h$ = إزاحة أفقية، $k$ = إزاحة رأسية.
- اقرأ الثوابت مباشرة من القاعدة لمعرفة ما حدث بدقة.
- خارج $f$ ($a$ و$k$) هو رأسي؛ وداخل ($b$ و$h$) هو أفقي.
استبدال $x$ بـ $(x - 2)$ داخل الدالة ينقل المنحنى…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
النقل الأفقي يعمل عكسياً: $(x-2)$ ينقل المنحنى ليمين بمقدار 2، ليس يسار. التغييرات الداخلية تبدو معكوسة.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول التحولات.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ثابت داخل يُحرّك أفقياً، وليس رأسياً. الخيارات الأخرى صحيحة.
طابق كل تغيير مع تأثيره على $y = f(x)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الخارجي = رأسي (إزاحة، انعكاس، تمدد)؛ الداخلي = أفقي (ومعكوس).
التأثير على المجال والمدى
- الحركات الرأسية (التمدد، الإزاحة، الانعكاس عبر محور x) تعيد تشكيل المدى.
- الحركات الأفقية (الإزاحة، التمدد، الانعكاس عبر محور y) تعيد تشكيل المجال.
- الإزاحة الرأسية للأعلى بمقدار $3$ تضيف $3$ إلى كل مخرج — فيرتفع المدى بمقدار $3$.
- الخصائص الرئيسية (الرأس، التقاطعات، المقارب) تتحرك مع الرسم البياني.
يمكن للتمدد الرأسي أو النقل الرأسي تغيير المجال للدالة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
التحولات الرأسية تؤثر على المخرجات، لذا重塑 المجال. الأفقية تؤثر على المدخلات وتؤثر على المجال بدلاً من ذلك.
التحويلات الأفقية تبدو عكسية. داخل الدالة، $(x - 2)$ يُزيح الرسم البياني يميناً (ليس يساراً)، و$f(2x)$ يضغطه (لا يمدده). التغيرات الداخلية دائماً تفعل عكس ما يشير إليه الإشارة.
صف $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ المبني من القطع المكافئ الأبوي $f(x) = x^2$.
- داخل $(x-1)$ → تحرك يميناً بمقدار 1.
- خارج $-2$ → تمدد بمقدار 2 وانعكاس عبر محور x (يتجه للأسفل).
- خارج $+4$ → تحرك أعلى بمقدار 4، مما يضع الرأس عند $(1, 4)$.
كل مخطط هو دالة أصلية تم تحويلها بواسطة $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$: إزاحة (تحريك)، أو تمدد (تمطط)، أو انعكاس (قلب). التغيرات الخارجية تكون رأسية وتُعيد تشكيل المجال الصوري؛ والتغيرات الداخلية تكون أفقية، تُعيد تشكيل المجال الحقيقي، وتسير عكسياً.