الأعداد العشرية العائمة

صاروخ فاتته مسافة 600 متر

• في 25 فبراير 1991، فشل نظام باتريوت في الدمام في اصطياد صاروخ قادم. مات 28 جندياً.
• كان النظام يعد الوقت بأجزاء من العشر من الثانية، و 0.1 ليس له تمثيل ثنائي دقيق: هو كسر متكرر، مقصوص لطول المسجل. فقدت كل نبضة جزءاً من الميكروثانية.
• بعد مائة ساعة عمل، بلغ الخطأ المتراكم ثلث ثانية، وفي ثلث ثانية تحرك الهدف 600 متر. كانت الحسابات صحيحة في كل خطوة على حدة.
• هذه الدرس هي تنسيق الأعداد العشرية العائمة (floating-point)، التطبيع، وأخطاء التقريب التي تجعل مثل هذه الحالات ممكنة.

التنسيق

• لتخزين أعداد حقيقية ذات أحجام مختلفة جداً، يستخدم الكمبيوتر صيغة علمية ثنائية بمجالين: جزء عشري (mantissa)، وهو الأرقام المعنوية، وأس (exponent)، وهو قوة 2 للضرب بها. يتم تخزين كليهما بصيغة مكملة الثنائية (two's complement).

• اقرأ الجزء العشري ككسر ثنائي: البت الأول بعد الفاصلة قيمته $\tfrac12$، التالي $\tfrac14$، ثم $\tfrac18$. وهكذا 0.1010000 هو $\tfrac12 + \tfrac18 = 0.625$.
• مع الأس 00000010، أي $+2$، تكون القيمة $0.625 \times 2^2 = 2.5$.

كسر وقوة من اثنين

مثال محلول: تحويل من ثنائي إلى عشري

مثال محلول: العشري إلى الثنائي

التطبيع

• يكون العدد مقيَّداً عندما يقع أول بت معنوي فوراً بعد الفاصلة الثنائية، بحيث لا توجد أصفار بادئة مهدرة. للعدد الموجب تبدأ المانيسا بـ 0.1؛ وللسالب بـ 1.0.
• السبب: إنها تعظم الدقة، لأن كل بت في المانيسا يحمل معلومات بدلاً من صفار بادئة.
• لتقييد العدد، أزل المانيسا لليسار وقلل الأس بنفس عدد الخانات، أو أزل لليمين وزده. القيمة لا تتغير؛ فقط تمثيلها.

أزل البتات، عدّل الأس، احتفظ بالقيمة

التبادل بين بتات المانيسا وبات الأس

• العدد الكلي للبتات ثابت، لذا يتنافس الحقلان.
• زيادة بتات المانيسا تعني دقة أكبر: يُخزن كل قيمة بدقة أكبر، مع خطأ تقريب أصغر.
• زيادة بتات الأس تعني مدى أكبر: يمكن تمثيل كميات كبيرة وصغيرة جداً، لكن بدقة أقل لكل منها.
• السؤال الذي يطلب تأثير نقل بت من حقل إلى الآخر يقصد هذا التبادل تحديداً: المدى مقابل الدقة.

التقريب وعواقبه

• العديد من الأعداد الحقيقية العشرية لا يمكن تخزينها بدقة في النظام الثنائي. $0.1$ هو الكسر المتكرر $0.000110011\ldots$، لذا يجب قصه: القيمة المخزنة قريبة من $0.1$ لكنها لا تساويها أبداً.
• أخطاء التقريب تتراكم عبر عمليات متعددة، ولهذا 0.1 + 0.2 ليست بالضبط 0.3 ولماذا انحرقت ساعة نظام باتريوت.
• لذا لا تقارن أبداً عددين حقيقيين بالمساواة: اكتب ABS(x - 0.3) < 1e-9 بدلاً من x = 0.3. واحذر طرح قيمتين متقاربتين جداً، مما يفقد معظم البتات المعنوية.
• للقيم التي يجب أن تكون دقيقة، والعملات على وجه الخصوص، استخدم النقاط الثابتة أو BCD بدلاً من ذلك.

الزيادة تحت الحد والنقصان عنه

• الزيادة تحت الحد (Overflow) تحدث عندما يكون الناتج كبيراً جداً لنطاق الأس، sehingga لا يمكن تمثيله على الإطلاق.
• النقصان عن الحد (Underflow) يحدث عندما يكون الناتج صغيراً جداً، sehingga قريباً من الصفر لدرجة أن الأس لا يمكن أن ينخفض بما يكفي، ويُقرب إلى صفر.
• كلاهما خاصيتان لـ حجم حقل الأس، وهو النصف الآخر من التبادل المذكور أعلاه.

علامات ضائعة

لقد فهمت الأمر