ميكانيكا الهندسة — السكون

— ميكانيكا الأجسام في حالة توازن. كل ما تقوم به آلة أو جسر أو مبنى يبدأ هنا، وأداة المركز الوحيد للمقرر هي مخطط الجسم الحر. يبدأ البناء هنا، والأداة المركزية الوحيدة في هذا المسار هي مخطط الجسم الحر, المخططات.

• الوحدة 1.1 والوحدة 1.2 تبني المفردات: المتجهات، القوى، وتخصص عزل الجسم قبل إجراء أي حساب.
• من الوحدة 1.3 إلى الوحدة 1.5 نحل التوازن: الجسيمات أولاً، ثم العزوم والدعامات لـ الأجسام الصلبة.
• من الوحدة 1.6 إلى الوحدة 1.8 نطبق نفس المعادلات الثلاث على الهياكل، الاحتكاك و الأحمال الموزعة.

كيف تقرأ كل وحدة: قصة قصيرة توضح لماذا هي مهمة؛ صورة تأتي قبل أي قانون؛ ثم التعريفات الدقيقة؛ ثم أمثلة محلولة تتدرج في الصعوبة، كل منها مع تحقق يتم حسابه بطريقة ثانية؛ ثم الأخطاء التي يرتكبها الناس فعلياً؛ ثم ملخص ثلاثة أسطر. عادة النجاح: ارسم مخطط الجسم الحر الكامل أولاً، بكل قوة وكل رد فعل، وقم بمراجعته قبل كتابة المعادلات. رد فعل مفقود يكون غير مرئي في الجبر — بل ينتج ببساطة إجابة خاطئة واثقة. المعادلات. رد الفعل المفقود يكون غير مرئي في الجبر — بل ينتج ببساطة إجابة خاطئة واثقة منها.

حبلان يسحبان صندوقاً: أحدهما نحو الشرق بقوة 30 نيوتن، والآخر نحو الشمال بقوة 40 نيوتن. أي سحب فردي يمكنه استبدالهما؟ الإجابة على ذلك — بدمج وفصل الدفعات — هو ما تجعله الوحدة 1.1 دقيقاً.

القوة هي دفع أو سحب له مقدار واتجاه و خط عمل. القوى متجهات: تضاف طرفاً إلى طرف، وتتحلل إلى مركبات على أي محاور مريحة. معادلات التحلل، مع $\theta$ يُقاس من المحور $x$:

المحصلة لقوى متعددة هي مجموعها المتجهي: اجمع المركبات، ثم أعد بناء المقدار $R = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2}$ والاتجاه $\theta_R = \tan^{-1}(\Sigma F_y / \Sigma F_x)$. يمكن تحريك القوة على طول خط عملها دون تغيير تأثيرها على جسم صلب — ولكن لا تُنقل أبداً جانبياً خارج ذلك الخط. تقاس القوى في النظام الدولي بـ نيوتن (N)؛ 1 N يُسرِّع 1 kg بمقدار 1 m/s². الأوزان هي قوى: $W = mg$، مع $g = 9.81 \text{ m/s}^2$، لذا فإن كتلة 50 kg وزنها 490.5 N.

مثال محلول 1 (تحليل والتحقق). قوة مقدارها 100 N تؤثر بزاوية 30° فوق الأفقي: $F_{x} = 100\cos 30^{\circ} = 86.6$ N و$F_{y} = 100\sin 30^{\circ} = 50$ N. تحقق: $\sqrt{86.6^{2} + 50^{2}} = 100$ N — فالمركبات دائماً تعيد بناء المتجه الأصلي، وهو تحقق حر في كلا الاتجاهين.

مثال محلول 2 (ثلاث قوى، متصاعدة). يتم سحب رصيف بحبل ثلاث: 200 N شرقاً، 150 N شمالاً، 100 N غرباً. اجمع المركبات أولاً: $\Sigma F_x = 200 - 100 = 100$ N و$\Sigma F_y = 150$ N، لذا $R = \sqrt{100^{2} + 150^{2}} = 180.3$ N بزاوية $\theta_R = \tan^{-1}(150/100) = 56.3°$ أعلى شرقاً. التحقق الهندسي: 100 و150 هما ضلعا المستطيل، و 180.3 هو قطره — نفس الصورة كمثال 1، ولكن بالعكس. هذا تستبدل الروتين الأولي المكون لكل رسم من الطرف إلى الطرف بحسابيات لا يمكن أن تتشابك.

أخطاء شائعة. خلط مرجع الزاوية (من محور $x$ أو من خط القوة نفسه) — يجب دائماً تحديد أيهما. استخدام $\cos$ على كل من المكونين لأن المثلث يبدو وكأنه مسألة جيب تمام: $F_x$ يأخذ جيب تمام الزاوية من محور $x$، و$F_y$ الجيب، في كل مرة. الإبلاغ عن مقدار بدون اتجاه — الـ محصلة هي كلاهما.

ملخص: القوى متجهات ذات مقدار واتجاه وخط عمل؛ تفككها باستخدام $\cos$/$\sin$، اجمعها بجمع المكونات، وتحقق بإعادة بناء الأصلي؛ حرك القوة على طول خطها بحرية، ولا تحركه أبداً عبره.

كتاب مستقر على طاولة. ماذا تفعل الطاولة بالكتاب؟ لا شيء في صورة الكتاب يظهر ذلك — حتى تقوم بقص الاتصال ورسم ما تنقله. ذلك القص، والانضباط المحيط به، هو مخطط الجسم الحر: الأداة الوحيدة للمنهج التي تستخدمها كل وحدة لاحقة.

مخطط الجسم الحر يعزل جسماً واحداً، ويرسم كل قوة خارجية تؤثر عليه، ولا شيء آخر. إنه قص مقصود للدعامات والمفاصل والاتصالات، مع استبدال كل قص بما ينقله.

• الأحمال المطبقة: الجاذبية، الكابلات، التماسات الضغط، ضغط السوائل — مع الاتجاه و نقطة التطبيق.
• ردود الأفعال: ما تدفعه به كل دعامة كاستجابة. يتأثر الوزن عند مركز الثقل.
• لا تظهر القوى الداخلية أبداً: إذا لم تقم بقطع العارضة، فإن قوتها لن تظهر في هذا المخطط.

المراجعة: احسب عدد المجهولات، واحسب عدد المعادلات المستقلة (اثنان لجسيم في 2D، ثلاثة لجسم صلب)، وأجب عما إذا كان الجسم قائداً استاتيكياً — قابلاً للحل بالتوازن وحده.

مثال محلول 1 (حلقة المصباح). يُعلق مصباح بكابلين بزاوية 30° و 45° من الأفقي. يمثل المخطط الحر للحلقة نقطة واحدة بثلاث قوى: وزن 200 N لأسفل وقوتين شد مجهولتين على طول الكابلات. لم يتم حل أي شيء بعد — المخطط هو المنتج المطلوب في هذه المرحلة، والوحدة 1.3 تحل المسألة.

مثال محلول 2 (مراجعة العارضة، متقدمة). عارضة طولها 6 m تستند على مفصل عند A و كر عند B ويحمل حمولة واحدة معروفة. يُظهر FBD الحمولة، ومفصلين مركبات المفصل ($A_x$، $A_y$) ومركبة واحدة للكر ($B_y$): ثلاثة مجاهيل مقابل ثلاثة المكون الأفقي للمفصل سيجعل العدد يبدو أبسط لكن العارضة ستبقى غير محلولة؛ المركبة الأفقية للمفصل والمجموع يبدو أكثر ودية لكن العارضة لم تُحل بعد؛ add a second fixed end and the count rises to six against three — indeterminate, and لا يمكن لأي كمية من الجبر سد الفجوة (الوحدة 1.5 تعود إلى هذا).

أخطاء شائعة. رسم القوى التي لا تشعر بها الجسم (الحمل على الجانب الآخر من القطع). نسيان رد فعل لأن "الدعم يبدو صلبًا" — الصلابة هي السبب الدقيق في دفعه للخلف. رسم قوى الأعضاء الداخلية على التجميع بدلاً من قطعها.

ملخص: قم بالقطع، والاستبدال، ورسم فقط ما يشعر به الجسم المعزول؛ الأحمال لها اتجاه ونقطة تطبيق؛ المراجعة (المجهولات مقابل المعادلات) تأتي قبل أي عملية جبرية.

حلقة المصباح من 1.2 معلقة بدون حركة. تتلاقى ثلاث قوى هناك — ما الذي يجب أن يكون صحيحًا فيما يتعلق بها؟ توازن الجسيم هو الإجابة، وهو يقتصر على معادلتين فقط.

الجسيم هو جسم لا يُعدّ حجمه مهمًا — جميع القوى تؤثر عند نقطة واحدة. التوازن في 2D يتمثل في معادلتين:

يجب تحليل كل قوة أولاً (الوحدة 1.1)؛ بعد ذلك تنطبق المعادلات مركبةً لكل مركبة على حدة. اختر محاور موازية وعمودية للقوة المجهولة التي تريد تجنبها: كل معادلة تحل مجهولًا واحدًا مباشرة. عندما تتوازن ثلاث قوى، يجب أن تكون متقاطعة — خطوط عملها تمر عبر نقطة واحدة — أو متوازية؛ هذه الحقيقة الهندسية تحل العديد من المسائل دون إجراء حسابات.

مثال محلول 1 (اللوحة المتناظرة). لوحة مقدارها 400 نيوتن معلقة من ساقين متناظرتين كوابل بزاوية 30° فوق الأفقي. بالتناظر، تتحمل كل كابل نفس الشد $T$; عمودياً، $2T\sin 30^{\circ} = 400$، إذن $T = 400$ نيوتن. أفقياً، تتساوى المركبات بالتناظر — وإذا لم تفعل ذلك، فسيكون ذلك هو التحقق الذي يكشف عن خطأ فادح. لاحظ كيف أن الكابل الأملس (الزاوية الأكبر) يحتاج إلى شد أقل: لأن المركبة العمودية هي التي تقوم بالحمل.

مثال محلول 2 (المصباح غير المتناظر، محلول، ومُطوَّل). مصباح وزنه 200 نيوتن من وحدة 1.2: الكابل 1 بزاوية 30°، والكابل 2 بزاوية 45°. المعادلتان، مع مركبة x للكابل $T_1$ موجهة لليسار ومركبة x للكابل $T_2$ موجهة لليمين:

بتعويض $T_1 = T_2\cos 45^{\circ}/\cos 30^{\circ} = 0.816\,T_2$ في المعادلة العمودية: المعادلة: $T_2(0.408 + 0.707) = 200$، إذن $T_2 = 179.3$ نيوتن و$T_1 = 146.4$ نيوتن. التحقق: $146.4\sin 30^{\circ} + 179.3\sin 45^{\circ} = 73.2 + 126.8 = 200$ نيوتن تماماً. الملاحظة التي يجب الانتباه إليها: التناظر اختفى، لكن آلية حل المعادلتين بقيت سليمة — وأن الكابل الأملس بزاوية 45° يتحمل شداً أكبر، تماماً كما تنبأ المثال 1.

أخطاء شائعة. وضع كل من مركبتي x بنفس الإشارة لأن الكابلات "كلاهما يرتفع" — الارتفاع هو محور y؛ المركبات الأفقية تتعارض. الحل بالتناسب ($T$ splits like the angles) — tension follows sines, not angle sizes. Skipping the الخلاصة: معادلتي مركبتين؛ اختر المحاور لعزل المجهولات؛ ثلاث قوى في حالة توازن متلاقية في نقطة واحدة؛ تحقق من التناظر بدلاً من افتراضه. افترض.

ملخص: معادلتان مركبتان؛ اختر المحاور لعزل المجهولات؛ ثلاث قوى في اتزان متقاطعة؛ تحقق من التماثل بدلاً من افتراضه.

لماذا يرخي مفتاح ربط أطول صامولة لا يستطيع مفتاح قصير إرخاؤها؟ نفس الدفع، مع ذراع أطول — يتزايد تأثير الدوران مع المسافة. يتطلب هذا التأثير مقياساً خاصاً ومعادلة مستقلة. القياس ومعادلته الخاصة.

العزم هو تأثير الدوران لقوة حول نقطة: $M = F\cdot d$، حيث $d$ هو ذراع العزم — وهو المسافة العمودية من النقطة إلى خط عمل القوة. تقاس العزومات بوحدة نيوتن·متر (N·m)، وتحمل إشارة: الاتجاه المعاكس لساعة العقارب موجب هو الاصطلاح المعتاد. الاتجاه عكس عقارب الساعة موجب هو المتفق عليه عادةً.

الزوج هو زوج من القوى المتساوية والمعاكسة والمتوازية. عزمه $M = F\cdot d$ (المسافة بين خطي العمل) ثابت حول كل نقطة — زوج القوى لا له قوة محصلة، بل تأثير دوران نقيض فقط. المعادلة الثالثة للاتزان هي $\Sigma M_O = 0$ حول أي نقطة مريحة، والنقطة يمكن أن استنتاج سبب خلو الزوج من الاعتماد على المرجع. خذ عزوم الزوج حول أي نقطة

استنتاج سبب كون زوج القوى خاليًا من المرجع. خذ عزم الزوج حول أي نقطة $O$ على مسافة $a$ عن خط عمل القوة الأولى: $M_O = F(a + d) - F(a) = F d$ — التي $a$ تلغي. تكتسب قوة واحدة، تفقد الأخرى بنفس المقدار تمامًا. أن هذا الإلغاء هو تعريف "الدوران النقيض".

مثال محلول 1 (زوج القوى مقابل قوة مفردة). قوتان مقدارهما 150 نيوتن تشكلان زوج قوى بـ خطوط عمل 0.8 م متباعدة: $M = 150 \times 0.8 = 120$ نيوتن·متر، نفس القيمة حول كل تشير إلى المستوى. قوة مفردة مقدارها 240 نيوتن مع ذراع عزم 0.5 متر تعطي أيضاً 120 نيوتن·متر حول تلك النقطة — ولكن فقط حول تلك النقطة؛ إذا نقلت نقطة المرجع فإن العزم يتغير. هذا التباين — ثبات زوج القوى مقابل اعتماد عزم القوة المفردة على نقطة المرجع — هو جوهر الفكرة.

مثال محلول 2 (دمجهم، بزيادة التعقيد). يتعرض ذراع الحامل لقوة رأسية نحو الأسفل مقدارها 300 نيوتن يمر خط عملها على بُعد 0.4 م إلى يمين المسمار $O$، بالإضافة إلى زوج مطبق عزم اتجاه عقارب الساعة مقداره 60 نيوتن·متر. حول $O$: تعطي القوة $300 \times 0.4 = 120$ نيوتن·متر في اتجاه عقارب الساعة، وزوج القوى 60 نيوتن·متر في اتجاه عقارب الساعة، والمجموع الكلي 180 نيوتن·متر في اتجاه عقارب الساعة — وحول أي نقطة أخرى تتغير قيمة الجزء الناتج عن القوة بينما لا يتغير الزوج 60 نيوتن·متر أبدًا. إذا كان الحامل في حالة توازن، يجب أن يوفر المسمار وشريكه عزمًا مضادًا لاتجاه عقارب الساعة مقداره 180 نيوتن·متر بينهما؛ استقلالية العزم عن نقطة المرجع تسمح لك باختيار العزم حول أي مسمار يلائم المعادلات الجبرية.

أخطاء شائعة. استخدام المسافة إلى نقطة تأثير القوة بدلاً من المسافة العمودية على خط عملها. إقصاء زوج القوى من مجموع العزوم "لأنه ليس له قوة" — يدخل زوج القوى في كل معادلة عزم، بالكامل. إهمال أن العزوم ذات إشارة: خلط مقادير الاتجاهات في اتجاه عقارب الساعة وضد اتجاه عقارب الساعة في مجموع واحد. مجموع واحد.

ملخص: $M = Fd$ حول نقطة مختارة مع الذراع العمودي؛ أزواج القوى هي دوران نقيض دائم، نفسه حول كل نقطة؛ اختر نقطة العزم لإلغاء المجهولات.

يرتكز عارضة جسر على طرف مثبت بمسمار وطرف آخر قابل للانزلاق — لماذا مسمار واحد وليس اثنين؟ لأن مهمة الدعامات هي توفير عدد من المجهولات يساوي تماماً ما يمكن للمعادلات الثلاث حلها: هذا الوحدة تجمع القوى والعزوم لتكوين الطريقة الكاملة لاتزان الجسم الصلب.

الجسم الصلب في 2D يعطي ثلاث معادلات: $\Sigma F_{x} = 0$، $\Sigma F_{y} = 0$، $\Sigma M = 0$. توفر الدعامات ردود الأفعال، وكل نوع من أنواع الدعامات يقيد حركة معينة: الحركة:

• عارضة متحركة: رد فعل واحد، عمودي على السطح.
• مفصل: مكونان من ردود الفعل، في أي اتجاه.
• دعم ثابت: مكونان للقوة وعزم.

مثال محلول 1 (العارضة البسيطة). عارضة طولها 6 م على مفصل عند A وعارضة متحركة عند B تحمل حمولة نقطية مقدارها 12 kN على بُعد 2 m من A. العزوم حول A: $R_{B} \times 6 = 12 \times 2$، إذن $R_{B} = 4$ kN؛ رأسياً $R_{A} = 12 - 4 = 8$ kN. تحقق بالعزوم حول B: $R_{A} \times 6 = 8 \times 6 = 48 = 12 \times 4$ ✓ — معادلة لم تُستخدم لإنتاج أي من الإجابتين.

مثال محلول 2 (العارضة المتداعدة، بزيادة التعقيد). نفس العارضة، لكن العارضة المتحركة تنتقل إلى 4 م من A ويتدلى حمل 10 kN عند طرف 6 م. العزوم حول A: $R_{B} \times 4 = 10 \times 6$، لذا $R_{B} = 15$ kN — أكبر من الحمل، لأنه يوفر ميزة ذراع الرافعة. عمودياً $R_{A} = 10 - 15 = -5$ kN: الدبوس يسحب down by 5 kN. Check by moments about B: $R_{A} \times 4 + 10 \times 2 = -20 + 20 = 0$ ✓. الإجابة السالبة ليست خطأً — بل هي عارضة تخبرك أن التماسك السفلي يجب أن يوجد، ولهذا السبب الأجنحة المعلقة الحقيقية تُثبت بالبراغي، لا توضع فقط.

عضو ثنائي القوة يحمل قوى متساوية ومعاكسة على طول الخط الواصل بين نقطتي توصيلها — دون أي تحميل آخر. تحديدها يحول الهياكل الصعبة إلى سهلة. كل تحقق هنا يعيد حساب إجابة عبر معادلة لم تُستخدم لإنتاجها. لتوليدها.

أخطاء شائعة. افتراض أن كل رد فعل رأسي يشير للأعلى — الأجنحة المعلقة و الأحمال غير المتناظرة تعكس اتجاهاتها. حساب العزوم حول نقاط متعددة باستخدام نفس المجهول الذراع الخاطئ مرتين: ارسم المسافات على مخطط الجسم الحر قبل الجمع. تسمية المجموعة غير المحددة "قابل للحل بجهد أكبر": 6 مجهولات مقابل 3 معادلات هو حقيقة، وليس تحدياً.

ملخص: ثلاث معادلات، دعامات تُقيّم بما تمنعه (1، 2، أو 2+M مجاهيل); عزم حول النقطة التي تلغي مجهولاً؛ ردة الفعل السالبة هي معلومة؛ عضو ثنائي القوة هو هدية.

جسر سكة حديدية يحمل قطاره عبر مئات الأعمدة الرقيقة، لا واحدة منها منحنيات. يكمن السر في المثلث: المثلثات المثبتة تتحمل الأحمال محوريًا، والمحوري يعني قوتين يعني قابل للحل — هذه الوحدة هي النتيجة النهائية لكل ما سبق.

العنقود الهيكلي هو بنية مكونة من أعضاء ثنائية القوة مستقيمة متصلة عند مفصلات خالية من الاحتكاك، ومحملة فقط عند العقد. تحمل الأعضاء شدًا نقيًا أو ضغطًا على طول محاورها.

طريقة العقد: عند كل عقدة، حل معادلتين للقوة لإيجاد قوتي عضوين مجهولتين. طريقة المقاطع: قطع ثلاثة أعضاء، وأخذ جزء واحد كمخطط جسم حر (FBD)، وحل ثلاث معادلات — مثالي لعضو واحد بعيد داخل عنقود هيكلي طويل. الأعضاء الخالية من القوة لا تتحمل أي قوة محورية تحت الحمل المحدد. في مفصل لا يوجد عليه حمل خارجي أو رد فعل دعم، عضوان غير متوازيان يكونان كلاهما أعضاء خالية من القوة. إذا التقى ثلاثة members وعُضوان منهما على استقامة واحدة، فإن الثالث هو عضو خالي من القوة. التماثل ليس مطلوباً.

مثال محلل 1 (عقدة عند الجدار). عقدة عند الجدار مثبتة بواسطة عضو أفقي وعضو مائل يرتفع بحجم 3-4-5، ويتحمل حملًا معلقًا للأسفل قدره 3.6 kN. عموديًا: $F_{inclined} \times (3/5) = 3.6$، لذا $F_{inclined} = 6$ kN (شد). أفقيًا، يأخذ العضو الأفقي $6 \times (4/5) = 4.8$ kN ضغط. كل عقدة في كل عنقود هيكلي تمر بنفس خطوات المعادلتين هاتين.

مثال محلل 2 (عنقود هيكلي كامل، موثق بالآلة، متصاعد). عنقود برات الهيكلي بطول 6 متر مقسم إلى ثلاث أقسام طول كل منها 2 متر، وارتفاع 2 متر: عقد سفلية A–C–D–B، وعقد علوية T1 فوق C وT2 فوق D، وأعمدة رأسية عند C وD، وقطري A–T1 وT2–B، وقطر داخلي واحد قطر T1–D. أحمال قدرها 4 kN معلقة عند C وD؛ بالتناظر $R_A = R_B = 4$ kN. حل جميع العقد الست (تم التحقق منه آلياً، ومتبقي كل منها يساوي صفراً):

• الأضلاع السفلية: شد مقداره 4 كيلو نيوتن في كل لوحة؛ الضلع العلوي T1–T2: ضغط بمقدار 4 كيلو نيوتن
• الأقطاب الطرفية A–T1 و T2–B: ضغط بمقدار $4\sqrt{2} = 5.66$ كيلو نيوتن؛ الأعمدة الرأسية: 4 كيلو نيوتن شد (يحمل كل منها حمل مفصله السفلي من الوتر العلوي)
• القطر الداخلي T1–D: صفر — اللوحة الوسطى لا تتحمل أي قص، لأن رد الفعل 4 كيلو نيوتن يُستهلك بواسطة الحمل 4 كيلو نيوتن عند C

هذا هو النمط الخاص بكل عارضة مجعدة بسيطة الدعم تحت الأحمال الرأسية: تنحني للأسفل، لذلك يتمدد الوتر السفلي (شد) ويقلص الوتر العلوي (ضغط). إذا ظهرت قوة الوتر السفلي كضغط، ابحث عن خطأ في الإشارات.

تحقق طريقة المقاطع لعضو واحد دون استخدام العقد: قطع اللوحة اليمنى (الأضلاع السفلية D–B والقطر T2–B)، احتفظ بالقطعة اليمنى (العقدة B) وأخذ العزوم حول T2، حيث يمر القطر المقطوع. مع اعتبار الشد موجباً، تكون قوة الضلع السفلي تسحب B إلى اليسار على خط يبعد 2 متر تحت T2: $4 \times 2 - F_{bottom} \times 2 = 0$، لذا شد بمقدار $F_{bottom} = 4$ كيلو نيوتن — متوافق مع نتيجة الحل العقدي عبر مسار مختلف.

الإطارات والآلات تحتوي على members متعددة القوى؛ قم بفصلها، وارسم diagram القوة الحرة لكل member مع قوى العقد مساوية ومعاكسة للجار، وحل التجميع قطعة بقطعة. مخطط الجسم الحر للعضو مع القوى المفصلية مساوية وعكسية للجوار، وحل التجميع قطعة تلو الأخرى.

أخطاء شائعة. تحميل مفصل في منتصف طول العضو — members الجسر تُحمل عند العقد فقط (التحميل في المنتصف يثني العضو خارج نطاق النظرية). افتراض أن كل قطر "يجب" أن يحمل حملًا: حدد members قوة الصفر أولاً. تطبيق المقاطع عبر أربعة members: ثلاثة members مقطوعة هي الحد الأقصى الذي يمكن لمعادلتين ثلاث أن تحققه. عند المفاصل فقط (الحمل في المنتصف يثني العضو خارج النطاق النظري). بافتراض أن كل قطر "يجب" أن يحمل حملاً: حدد الأعضاء الخالية من القوة أولاً. بتطبيق تقاطعات عبر أربعة أعضاء: ثلاثة members مقطوعة هي الحد الأقصى الذي يمكن لمعادلات ثلاثية تحقيقه.

ملخص: تعطي العقد معادلتين لكل منها، والمقاطع ثلاثة؛ members قوة الصفر تقلل العمل؛ الضغط مقابل الشد هو التقرير؛ الإطارات تنفصل إلى مساوية و- العمل؛ الضغط مقابل الشد هو التقرير؛ الأطارات تفكك إلى قوى مساوية وعكسية و أزواج متقابلة

صندوق كتلته 50 كجم موضوع على منحدرة بزاوية 20° ولا ينزلق. لماذا لا ينزلق؟ وما هو أقصى ميل يمكن أن تصل إليه المنحدرة؟ الاحتكاك هو القوة الوحيدة في هذا الدرس التي تُعدّل قيمتها ذاتياً، والوحدة بأكملها تتعلم طرح سؤال "كم تحتاج؟" قبل إجراء أي حساب. الاحتكاك الجاف يعاكس الانزلاق النسبي عند نقطة التلامس. قبل بدء الانزلاق، يُعدّل قوة الاحتكاك ذاتياً لتستوفي أي قيمة تحافظ على الاتزان، حتى تصل إلى حد أقصى متناسب مع القوة العمودية: الوحدة هي تعلم طرح سؤال "كم يحتاج؟" قبل إجراء أي حساب.

احتكاك جاف يعارض الانزلاق النسبي عند نقطة التلامس. قبل حدوث الانزلاق، فإن تتكيف قوة الاحتكاك مع أي قيمة تحافظ على التوازن، حتى تصل إلى حد أقصى تنحرف النتيجة بمقدار arctan(μs) كحد أقصى عن الخط العمودي — وتقع على الحافة عند الانزلاق الوشيك

هنا يحدد معامل الاحتكاك السكوني الحد الأقصى للاحتكاك السكوني بينما يُطبق معامل الاحتكاك الحركي أثناء الانزلاق. عند الحد الأقصى يكون الاتصال في حالة انزلاق وشيك، وتُطبق كامل مخروط الاحتكاك: حيث تميل القوة الكلية $R = \sqrt{N^2 + F^2}$ بزاوية لا تتجاوز $\phi = \tan^{-1}\mu_s$ عن العمودي.

مثال محلول 1 (السطح المائل والمقارنة الكلاسيكية). كتلة كتلتها 50 كجم على سطح مائل بزاوية 20° ($\mu_s = 0.4$). مركبة الوزن المائلة للأسفل: $490.5\sin 20^{\circ} = 167.8$ N؛ الاحتكاك المتاح: $0.4 \times 490.5\cos 20^{\circ} = 184.4$ N. Because $167.8 < 184.4$، تظل الكتلة ثابتة — وقوة الاحتكاك فعلياً القوة المؤثرة تساوي 167.8 نيوتن فقط، وليس 184.4 نيوتن. الاحتكاك يأخذ ما يحتاجه، ولا يأخذ ما يمكن أن يوفره. توفر القيمة المطلوبة. يتبع ذلك مباشرةً أكبر زاوية بدون انزلاق: $\tan^{-1}(0.4) = 21.8°$، فقط فوق 20° — هامش الأمان موجود لكنه ضيق.

مثال محلول 2 (الانحراج أو الانزلاق، متصاعد). صندوق بعرض 0.5 متر وارتفاع 1.0 متر، كتلته 40 كجم (وزنه $W = 392.4$ نيوتن)، معامل الاحتكاك $\mu_s = 0.5$، يُسحب أفقياً من حافته العليا. يتطلب الانزلاق قوة $P_{slip} = \mu_s W = 0.5 \times 392.4 = 196.2$ N. للقلب حول الحافة السفلية الأمامية، يتوازن السحب مع عزم وزن الصندوق: $P_{tip} \times 1.0 = 392.4 \times 0.25$، إذن $P_{tip} = 98.1$ نيوتن. الأصغر حجماً يحدث أولاً: تنزلق الصندوق عند 98.1 نيوتن، قبل أي انزلاق. التصميم سحبتاها من نقطة منخفضة فإن نفس الصندوق سينزلق بدلاً من أن يميل. يسحب من الأسفل وينزلق الصندوق بدلاً من ذلك.

أخطاء شائعة. تعيين $F = \mu N$ دائماً: هذا هو الحد؛ التوازن يحدد المتوقعة بشكل خاطئ — فاحتكاك يعاكس الحركة التي ستحدث فعليًا، وليس أي حركة يمكنك تخيلها. مقارنة اتجاه الحركة بشكل خاطئ — الاحتكاك يعاكس الحركة التي ستحدث، لا أي motion you can imagine. Comparing $P$ values without checking which failure they فشل محدد.

ملخص: الاحتكاك يضبط نفسه حتى $\mu_s N$؛ قارن المطلوب بالموجود; زاوية المخروط $\tan^{-1}\mu_s$ هي أقصى ميل ذاتي القفل؛ الانزلاق مقابل الانزلاق تقارن سحبين وتأخذ الأصغر.

تتراكم الثلوج بعمق أكبر في منتصف العارضة مقارنةً بحواف السقف — فالعارضة التي تحته لا تتعرض لنقطة، بل لشكل. يُجيب الهندسة بخطوة واحدة: استبدال الشكل بمجموعه عند نقطة توازنه، وتُطبق كل أداة سابقة دون تغيير. نقطة، تشعر بالشكل. الإجابة الهندسية بخطوة واحدة: استبدل الشكل بـ مجموعه الكلي عند نقطة اتزانه، وتُطبق كل الأدوات السابقة دون تغيير.

الحمل الموزع يوزع القوة على طول أو مساحة (N/m، N/m²). المركز الهندسي هو نقطة توازن الحمل: يمكن استبدال التوزيع الكامل محصلة — أي المحصلة الكلية المؤثرة عند المركز الهندسي. مركز الثقل هو نقطة توازن الحمل: يمكن استبدال التوزيع الكامل بنتيجته — المقدار الكلي المؤثر عند مركز الثقل.

• مستطيل (مستوى $w$ على طول $L$): $R = wL$ عند المنتصف، $L/2$.
• مثلث (ذروة $w_{0}$ عند أحد الطرفين على طول $L$): $R = w_{0}L/2$ على بُعد $L/3$ من الطرف الذي يحتوي الذروة. نهاية.

استنتاج مركز ثقل المثلث. شريط على مسافة $x$ من النهاية الصفرية يحمل كثافة proportional to $x$, so $\bar{x} = \int x \cdot (w_0 x/L)\,dx \,/\, \int (w_0 x/L)\,dx = 2L/3$ from the zero end, which is $L/3$ من الذروة — قاعدة الثلث، الآن مع ظهور أصله.

مثال محلل 1 (عارضة مثلثية). حمل مثلثي يبدأ من الصفر ويصل إلى 6 كيلو نيوتن/متر على طول 4 متر على عارضة بسيطة الدعم. المحصلة: $R = 6 \times 4/2 = 12$ كيلو نيوتن تؤثر على بُعد $4/3 = 1.333$ متر من الطرف المرتفع. تتحدد ردود الفعل من معادلتي العزمين تمامًا كما في حالة الحمل النقطي. عندما يتوزع حمل منتظم وحمل مثلثي على عارضة واحدة، استبدل كل منهما بمحصولته واجمعهما — هذا الاستبدال دقيق وليس مجرد تقريب.

مثال محلول 2 (شكلان، تحقق آلي، متصاعد). عارضة طولها 6 متر تتحمل عبء منتظم قيمته 2 كيلو نيوتن/متر على أول 3 متر، وعبئاً مثلثياً يتزايد ليصل إلى 4 كيلو نيوتن/متر على آخر 3 متر. المحصلات: $R_1 = 6$ كيلو نيوتن عند مسافة 1.5 متر من النقطة A؛ و$R_2 = 6$ كيلو نيوتن عند مسافة 5 متر من النقطة A. العزوم حول A تساوي $R_B \times 6 = 6 \times 1.5 + 6 \times 5 = 39$، وبالتالي $R_B = 6.5$ كيلو نيوتن و $R_A = 5.5$ كيلو نيوتن. التحقق حول B: $5.5 \times 6 = 33 = 27 + 6$ ✓ (تحقق آلي).

بهذا تكتمل حلقة المسألة: تنخفض الأحمال إلى محصلات، وتدخل المحصلات في مخططات الجسم الحر، وتُكمّل المعادلات الثلاث للتوازن الحل.

أخطاء شائعة. وضع المحصلة المثلثية في المنتصف الهندسي — بل إن موقعها يكون عند مسافة $L/3$ من الطرف الذروة دائماً. تقسيم شبه المنحرف باستخدام أطراف الذروة الخاطئة. اعتبار الاستبدال تقريبياً: بل هو دقيق تماماً.

ملخص: كل شكل يُستبدل بمجموعه الكلي عند مركز ثقله — $wL$ عند $L/2$، و$w_0L/2$ عند $L/3$ من طرف الذروة — ثم يكمل التحويل للوحدات 1.5 بدقة تامة.