مواد تعليمية أصلية. تحقق من فجوات التغطية المنهجية ومواصفات مدرستك الحالية قبل استخدامها للتقييم.

AI: ملاحظات تدريس المسار

الإصدار: التقييم الأول 2021

هذه ملاحظات تعليمية أصلية، وكل درس مُعنَّون بطبقته.

1 · الحساب الدقيق والتقدير

هل يمكننا التغليف بدون فائض؟

يقوم مورد بتعبئة 72 أقلام رصاص و90 أقلام حبر في حقائب هدايا متطابقة. كيف يمكننا تجنب الفوائض؟
تدرس هذه الدرس العوامل الأولية: العدد الأولي الذي يقسم العدد الصحيح تماماً.

الطريقة

تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
استخدم أصغر القوى الأولية المشتركة لـ HCF وأكبرها لـ LCM.
قدّر قبل الحساب؛ استخدم الأقواس للحفاظ على ترتيب العمليات.

حالة محلولة

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

مثال

72=2^3×3^2 و 90=2×3^2×5. القاسم المشترك الأكبر هو 2×9=18. قم بصنع 18 أكياس تحتوي كل منها على 4 أقلام رصاص و5 أقلام حبر. المضاعف المشترك الأصغر هو 2^3×3^2×5=360.

العملية الحسابية الدقيقة والتقدير — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

يقسم HCF كلا الرقمين؛ وLCM هو مضاعف لكلا الرقمين.
يجيبان على أسئلة مختلفة.
التقدير العشري ليس كسرًا دقيقًا.

انتبه

غير صحيح: القاسم المشترك الأكبر لعدد صحيحين موجبين يكون أكبر من أي منهما. القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين، لذا لا يمكن أن يكون أكبر من الأصغر: القاسم المشترك الأكبر لـ 72 و90 هو 18.

تطبيقه

لورقة اختبار بدون آلة حاسبة، حافظ على الكسور دقيقة وأظهر الاختصار.
في ورقة الآلة الحاسبة، أدخل التعبير الكامل وقارنه بتقديرك.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.

الفكرة الرئيسية

العامل الأولي: عدد أولي يقسم العدد الصحيح تماماً.
تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
انتبه إلى: القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين؛ والمضاعف المشترك الأصغر هو مضاعف لكلا العددين.

1 · النسب المئوية، التناسب والاستدلال النسبي

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

انخفض سعر معطف بمقدار 20% ليصبح ¥240. الخصم يطبق على السعر الأصلي، وليس على سعر البيع.
يدرس هذا الدرس المعامل الضربي: العامل الذي يقوم بتغيير النسبة المئوية في عملية ضرب واحدة.

الطريقة

الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
لإرجاع النسبة المئوية، اقسم على المضاعف.
في النسبة، أوجد أولاً العدد الكلي للأجزاء.

حالة محلولة

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

مثال

ليكن السعر الأصلي P. النموذج هو سعر البيع=0.8P. ومنه P=240/0.8=300. زيادة لاحقة بنسبة 20% تعطي 240×1.2=288، لذا التغيران لا يلغيان بعضهما البعض.

Percentages, ratio and proportional reasoning — original teaching diagram

أين يكمن الخطأ

تستخدم النسبة المئوية أساساً مذكوراً.
طرح النسب المئوية يفقد ذلك الأساس.
للتغير المركب، اضرب المضاعفات؛ ولا تجمع النسب المئوية.

انتبه

غير صحيح: انخفاض بنسبة 20% يليه زيادة بنسبة 20% يعيد السعر الابتدائي. لكن الزيادة بنسبة 20% تُحسب على مبلغ أصغر: 100×0.8×1.2=96، وليس 100.

تطبيقه

للتناسب المباشر استخدم y=kx؛ للتناسب العكسي استخدم y=k/x.
احسب k من زوج معلوم قبل استخدام قيمة جديدة.
أدرِ ما أبقيت ثابتاً.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المُضَرِّب: عامل يُجرّي تغييراً مئوياً في عملية ضرب واحدة.
الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
انتبه: يستخدم النسبة المئوية أساساً مُصراَحاً عنه.

1 · المتتاليات، المتسلسلات والتكرار

هل التغير يجمع أم يضرب؟

خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
تدرس هذه الدرس النسبة المشتركة: المضروب الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.

الطريقة

للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
للم progression الهندسي، u_n=ar^(n-1) و S_n=a(1-r^n)/(1-r).
مجموع هندسي لانهائي موجود فقط إذا كان |r|<1.

حالة محلولة

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

مثال

بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.

متتاليات ومتسلسلات وتكرار — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.
المتتالية قائمة مرقمة؛ والمتسلسلة هي مجموع.
يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة وتظل متقاربة.

انتبه

غير صحيح: كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. يوجد مجموع إلى ما لا نهاية فقط عندما −1<r<1؛ أما بالنسبة لـ r=2 فإن الحدود تكبر بلا حدود.

تطبيقه

اشرح ما إذا كان السياق يبرر التغير الإجمالي أو الضربي.
في المالية، اميز بين إيداد واحد وسلسلة من الإيدادات قبل اختيار صيغة المجموع.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

النسبة المشتركة: المضاعف الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.
للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
انتبه: الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.

1 · نماذج سلسلة الإيداع المتكرر والتوقيت

أي خط زمني يصف المجموع؟

يمكن لدفعتين متساويتين أن تولدا amounts مختلفة من الفائدة إذا أُجريت إحداهما مبكرًا.
تدرس هذه الدرس الإيداع: مبلغ يتم إضافته لحساب في وقت محدد.

الطريقة

عرّف الرصيد فورًا بعد حدث محدد وأعطِ الرصيد الأولي.
مع عامل النمو r وإيداع في نهاية الفترة d، يكون B₀=0 وB_n=rB_(n−1)+d.
الرصيد النوني هو d(1+r+…+r^(n−1))=d(r^n−1)/(r−1) من أجل r≠1.
من أجل r=1، استخدم B_n=nd.
عدد الفترات n عدد صحيح غير سالب.

حالة محلولة

$$B_0=0,\quad B_n=rB_{n-1}+d,\quad B_n=d\frac{r^n-1}{r-1}\ (r\ne1)$$

مثال

استخدم معدل نمو توضيحي قدره 5% لكل فترة، وقم بإيداع 100 وحدة في نهاية كل فترة. B₁=100، B₂=1.05×100+100=205 وB₃=1.05×205+100=315.25. الإيداع الأول يكسب فائدة لـ n−1 فترة، بينما الإيداع الأخير لا يكسب أي فائدة عند قياس B_n. وبالتالي B_n=100(1.05^n−1)/0.05. بهدف الوصول إلى ما لا يقل عن 500، فإن B₄=431.0125<500 وB₅=552.563125≥500، لذا 5 فترة كافية أولاً. الرصيد يتجاوز مجموع إيداعات الخمس التي تبلغ 500 بمقدار 52.563125 وحدة. إذا تم إجراء نفس الإيداعات في بداية كل فترة وتم قياس الرصيد في نهاية الفترة، فإن C_n=1.05(B_n)؛ hence C₃=331.0125، وليس 315.25.

نموذج تسلسل الإيداعات المتكررة والتوقيت — الرسم التوضيقي الأصلي

أين يكمن الخطأ

لا تمنح الإيداع النهائي في نهاية الفترة فترة فائدة إضافية.
الرصيد يشمل كلًا من الإيداعات والنمو؛ ولا يمثل الفائدة وحدها.
تتطلب الأهداف الدقيقة وأهداف "على الأقل" اختبارات صحيحة مختلفة.
لا يمكن استخدام معدل سنوي بين قوسين كعامل شهري مباشرة دون تحويل مناسب.

انتبه

غير صحيح: الإيداعات في بداية ونهاية الفترة تعطي نفس الرصيد النهائي. الإيداع في بداية الفترة يكتسب فترة فائدة إضافية، لذا يكون الرصيد النهائي أكبر.

تطبيقه

تفترض التوضيح معدلًا ثابتًا لكل فترة، وإيدادات متساوية، وعدم وجود رسوم أو سحب، وأوقات القسط/الدفق المذكورة.
إذا تغيرت هذه العوامل، قم بتعديل المعادلة العودية: B_n=(1+i_n)B_(n−1)+d_n−w_n للإيدادات/السحب في نهاية الفترة.
احتفظ بدفتر حسابات منفصل للدفوعات لتحديد النمو.
قارن أرصدة الفترات المتجاورة قبل الادعاء بعبور الهدف الأول؛ هنا جميع الأرصدة غير سالبة و B_n−B_(n−1)=0.05B_(n−1)+100>0.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الإيداد: مبلغ يتم إضافته إلى حساب في وقت محدد.
عرّف الرصيد فورًا بعد حدث محدد وأعطِ الرصيد الأولي.
انتبه: لا تمنح إيداد نهاية الفترة الأخير فترة فائدة إضافية.

1 · تحويلات المصفوفات، والمقلوبات والقيم الذاتية

إلى أين تذهب متجهات الأساس؟

التمثيز يمد في اتجاه ويشوه آخر. المصفوفة تسجل تحويل كل متجه أساس.
هذه الدرس يدرس المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس وفي بعدين، عامل مساحتها الموجه.

الطريقة

مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
حوّل متجهات الأعمدة بالضرب من اليسار.
المصفوفة اليمنى تعمل أولاً في الضرب.

حالة محلولة

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

مثال

بالنسبة للمصفوفة A=[[2,1],[0,3]]، محدد المصفوفة det A=6. A(1,2)=(4,6). معكوسها هو [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. المعادلة المميزة هي (2-λ)(3-λ)=0، لذا فإن القيم الذاتية هي 2 و3.

تحويلات المصفوفات والعكوس والقيم الذاتية — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.
المحدد الصفري يعني أن التحويل يفقد بُعداً ولا يوجد له معكوس.
القيم الذاتية والتقطيع موضوعات متقدمة، وليست ضمن محتوى المتجهات GCSE العادي.

انتبه

غير صحيح: كل مصفوفة مربعة لها معكوس. المصفوفة المربعة ذات المحدد 0 مفقودة (singular) وليس لها معكوس.

تطبيقه

أوجد متجه ذاتي بحل المعادلة (A-λI)v=0 مع v≠0.
اشرح المعنى الهندسي: هذا المتجه يحافظ على اتجاهه الخطي تحت التحويل.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المحدد: A scalar that determines whether a square matrix is invertible and, in two dimensions, its signed area factor.
مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
انتبه: ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.

1 · الأعداد المركبة والجذور

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

المعادلة x²+1=0 ليس لها جذور حقيقية. وتمتد نظام الأعداد ليمكّننا من تمثيل وحساب كلا الجذرين.
تدرس هذه الدرس المرافق المركب: وهو العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي.

الطريقة

اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
المرافق هو a-bi، وz ضرب مرافقه = a²+b².
المعيار هو √(a²+b²)؛ والذروة تتطلب الربع الصحيح.
الجذور المرافقة تظهر في كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية.

حالة محلولة

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

مثال

بالنسبة لـ z=3+4i، فإن |z|=5 ومرافق z=3-4i. والمقلوب هو (3-4i)/25. بالنسبة لـ x²-6x+13=0، الجذور هي 3±2i. الضرب في المرافق يجعل المقام المركب عدداً حقيقياً.

الأعداد المركبة والجذور — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.
دالة الظل العكسي وحدها قد تعيد الربع الخطأ.
لا تخلط بين القيمة المطلقة ومربع القيمة المطلقة.

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ a+bi، قيمتها المطلقة هي a+b. القيمة المطلقة هي √(a²+b²): بالنسبة لـ 3+4i فإنها 5، وليست 7.

تطبيقه

ارسم المحور الحقيقي أفقيًا والمحور التخيلي عموديًا.
بالنسبة للضرب، تُضرب المعايير وتُجمع الذروات؛ وتمتد هذه النمط الهندسي للأسس عبر نظرية دموافر.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المرافق المركب: العدد الناتج عن عكس إشارة الجزء التخيلي.
اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
انتبه: الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.

2 · المجالات، الدوال العكسية والتركيب

ما المدخلات المسموحة؟

نموذج الجذر التربيعي يعطي ناتجاً حقيقياً فقط لبعض المدخلات. معادلته وحدها لا تحدد دالة كاملة.
تدرس هذه الدرس المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.

الطريقة

حدد المجال والمدى.
بالنسبة للدالة العكسية، تأكد أولاً من أن الدالة أحادية على مجالها.
تركيب fg يعني تطبيق g أولاً، ثم f؛ يجب أن يكون الناتج الوسيط مدخلًا مسموحًا به لـ f.

حالة محلولة

$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$

مثال

بالنسبة لـ f(x)=√(x-2)، x≥2 والمدى هو y≥0. من y=√(x-2)، x=y²+2. وبالتالي f inverse(x)=x²+2 مع x≥0. بالنسبة لـ g(x)=x+3، fg(1)=f(4)=√2.

المجال والدوال العكسية والتركيب — الرسم التوضيحي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يمكن أن يؤدي التربيع إلى ظهور حلول زائدة.
تقييد مجال القطع المكافئ ضروري قبل الادعاء بوجود دالة عكسية.
الإزاحة الأفقية داخل f تحمل إشارة معاكسة لحركة الرسم البياني.

انتبه

غير صحيح: كل دالة تربيعية على جميع الأعداد الحقيقية لها دالة عكسية. الدالة التربيعية على جميع الأعداد الحقيقية تكون متعددة الصورة (f(1)=f(−1) من أجل x²)، لذا يجب تقييم مجالها أولاً.

تطبيقه

تحقق من أن f(المعكوس(x))=x على مجال المعكوس.
استخدم رسمًا مبدئيًا لاختبار ما إذا كان خط أفقي يقطع الرسم البياني الأصلي أكثر من مرة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.
حدد المجال والمدى.
انتبه: التربيع قد يُدخل حلولاً زائدة.

2 · الانحدار، والنماذج المالية، والقيم المتبقية

هل يدعم التنبؤ البيانات؟

خط يتنبأ بمدة رحلة الحافلة بناءً على المسافة. خطأ حسابي صغير أقل أهمية من استخدام نموذج خارج نطاق أدلته.
تدرس هذه الدرس المقدار المتبقي (Residual): القيمة الملاحظة ناقص القيمة التي تتنبأ بها النموذج الملائم.

الطريقة

النموذج الخطي y=a+bx له تقاطع a وميل b بوحلات سياقية.
افحص البواقي ونطاق البيانات.
للتغيير المئوي المتكرر استخدم نموذجاً هندسياً؛ وللقرض افرق بين رأس المال، والمعدل، والسداد، والفترة.

حالة محلولة

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$

مثال

النموذج الملائم t=8+2d يتنبأ بـ 18 دقيقة عند d=5 كم. إذا كان الوقت الملاحظ هو 21، فإن الباقي (residual) هو 3 دقيقة. إيداع ¥1000 بفائدة سنوية مركبة 5% يصبح 1000×1.05³=1157.625 بعد 3 سنوات.

الانحدار، النماذج المالية والمخلفات — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

عدم وجود تطابق جيد لا يثبت آلية سببية.
معامل الارتباط يقيس الارتباط الخطي، وليس الميل.
يجب ترجمة مخرجات الآلة الحاسبة إلى نموذج، والتحقق منه وتفسيره.

انتبه

غير صحيح: يسمح الارتباط العالي بالاستنباط الخارجي موثوق إلى أي مسافة. النموذج المُعدّ على البيانات يكون موثوقاً فقط بالقرب من تلك البيانات؛ والاستنباط الخارجي بعيداً عنها غير موثوق.

تطبيقه

في IB AI، سجل مصدر البيانات، والمجال، والافتراضات، وطريقة الآلة الحاسبة.
قارن نموذجاً بديلاً وحكم على التنبؤات مقابل البواقي.
يجب أن تتضمن الإجابة المالية توقيت الدفع وما إذا كان الفائدة مركباً.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.

الفكرة الرئيسية

الباقية: القيمة المرصودة ناقص القيمة التي تنبأ بها النموذج المُعدّ.
النموذج الخطي y=a+bx له تقاطع a وميل b بوحلات سياقية.
انتبه: عدم وجود تطابق جيد لا يثبت آلية سببية.

2 · الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة

لماذا يظل نموذج التناقص موجباً؟

تركيز الدواء ينخفض بنفس النسبة المئوية كل ساعة. والطرح الثابت سيؤدي حتماً إلى توقع كمية سالبة.
تدرس هذه الدرس عمر النصف: الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية.

الطريقة

بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
بأخذ اللوغاريتم الطبيعي نحصل على ln y=ln A+kt.
تتطلب اللوغاريتمات مدخلات موجبة، ولوغاريتم المجموع (log(x+y)) لا يساوي مجموع اللوغاريتمات (log x+log y).

حالة محلولة

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

مثال

إذا كانت y=80e^(-0.2t)، فإن y=40 تعطي e^(-0.2t)=1/2. ومنه t=ln2/0.2≈3.466. ولـ 3^x=20، فإن x=ln20/ln3. ورسم ln y مقابل t يخطي هذا النموذج الأسّي.

الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.
حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام.
قيمة k السالبة تصف التناقص؛ أما مقدار البداية السالب فتعارض السياق عادةً.

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ x و y الموجبين، فإن ln(x+y) لا يساوي ln x+ln y. لا توجد قاعدة بسيطة لوغاريتم المجموع، بينما قاعدة الضرب تنص على أن ln(xy)=ln x+ln y.

تطبيقه

قارن الملاحظات الفعلية مع النموذج الرياضي.
الانحرافات المنتظمة قد تدل على تغير الظروف.
في التقرير، اشرح دلالة المعدل والقيمة الابتدائية بدلاً من تقديم المعادلة المجردة فقط.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

النصف عمر: الوقت اللازم ليقل الكمية المتناقص إلى نصف قيمتها الأولية.
بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
انتبه: النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.

3 · استنتاج الزوايا، التشابه والقياس الهندسي

هل يتناسب الحجم مع الطول؟

نموذج له أطوال ثلث طول الجسم الحقيقي. كم صغر مساحة وحجمه؟
يدرس هذا الدرس معامل القياس: المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.

الطريقة

للأشكال المتشابهة ذات معامل مقياس الطول k، تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³.
نصّ على أسباب الزوايا صراحةً.
مماس الدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التلامس.

حالة محلولة

$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$

مثال

إذا كان معامل الطول من النموذج إلى الواقع هو 3، فإن مساحة نموذجية قدرها 12 سم² تعطي 12×3²=108 سم²، وحجم نموذجي قدره 8 سم³ يعطي 8×3³=216 سم³. أسطوانة نصف قطرها r=3، وطولها h=5 يكون حجمها πr²h=45π.

استنتاج الزوايا، والتشابه، والقياسات الهندسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

تساوي الزوايا وحدها ي establishes التشابه، وليس المساواة في الحجم.
استخدم الأطوال المقابلة بنفس الترتيب.
حول الوحدات الخطية قبل حساب المساحة أو الحجم، أو اربع/كعب معامل التحويل بشكل صحيح.

انتبه

غير صحيح: مضاعفة كل طول لجسم ثلاثي الأبعاد تضاعف حجمه. يتغير الحجم بمقدار مكعب عامل الطول: مضاعفة كل طول تضاعف الحجم 8 مرات.

تطبيقه

يجب أن يذكر الإثبات الهندسي النظرية ذات الصلة، ويحدد الزاوية المتساوية أو النسبة، ويستنتج النتيجة.
الرسم المقياسي يُعد دليلاً فقط عندما يسمح السؤال بالقياس.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

معامل المقياس: المعامل الضربي الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.
للأشكال المتشابهة ذات معامل مقياس الطول k، تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³.
انتبه: الزوايا المتساوية وحدها تُثبت التشابه، وليس الحجم المتساوي.

3 · المثلثات القائمة والمثلثات غير القائمة

أي جانب يحتاجه السلم؟

يصل سلم إلى ارتفاع 4 م بينما يكون جذعه على مسافة 3 م من الجدار. ما هي الجوانب المعروفة، وما هو الزاوية التي نحتاجها؟
تدرس هذه الدرس الوتر: الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.

الطريقة

في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
للمثلثات الأخرى، استخدم قانون الجيب أو جيب التمام، أو المساحة=ab sin C/2.

حالة محلولة

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

مثال

طول السلم هو c=√(3²+4²)=5 م. زاويته مع الأرض تحقق tanθ=4/3، لذا θ≈53.1°. بجانبين 6 و8 يحيطان بزاوية 60°، فإن c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

مثلثات قائمة ومثلثات غير قائمة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

عيّن الأضلاع بالنسبة للزاوية المختارة.
يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة.
قد يؤدي خطأ وضع الزاوية في الآلة الحاسبة إلى إنتاج نتيجة معقولة لكنها خاطئة.
احتفظ بالقيم غير المقربة للخطوات اللاحقة.

انتبه

غير صحيح: ينطبق فيثاغورس على كل مثلث، بما في ذلك المثلثات بدون زاوية قائمة. يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة؛ للمثلثات الأخرى استخدم قانون جيب التمام.

تطبيقه

استخدم مخططاً أو منظراً عمودياً لمسألة ثلاثية الأبعاد قبل تطبيق قاعدة المثلث.
اشرح لماذا يحتوي المثلث المختار على الطول أو الزاوية المطلوبة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.
في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
انتبه: عرّف أضلاع الزاوية المختارة بالنسبة للزاوية.

3 · المتجهات والتحويل الهندسي

لماذا يكون الإزاحة أقصر من المسافة المقطوعة؟

المشي مسافة 4 م شرقاً و3 م شمالاً يعطي إزاحة مقدارها 5 م، على الرغم من أن المسافة المقطوعة هي 7 م.
تدرس هذه الدرس المحصلة: مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة.

الطريقة

أضف مركبات المتجهات المقابلة.
إزاحة من A إلى B تساوي OB - OA.
المتوازيات هي مضاعفات عددية.
المتجه له مقدار واتجاه؛ المسافة كمية قياسية.

حالة محلولة

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

مثال

مع a=(4,1) و b=(1,3)، فإن a+b=(5,4). حاصل الضرب القياسي هو a·b=4×1+1×3=7. مقدار a هو √17. بالنسبة لـ A=(1,2)، B=(5,5)، فإن AB=(4,3) و |AB|=5.

المتجهات والهندسة التحويلية — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.
لإثبات التوازي، يجب وجود علاقة مضاعف قياسي؛ والمخطط وحده لا يكفي.
التمدد السالب يعكس الموقع بالنسبة لمركزه.

انتبه

غير صحيح: المتجهان AB وBA لهما نفس المكوّنات. يتجه BA في الاتجاه المعاكس لـAB، لذا BA = -AB: تتغير إشارة كل مكوّن.

تطبيقه

بالنسبة للانقلاص، كل نقطة تستخدم نفس الإزاحة.
لمسائل الخطوط المتقدمة، ميّز بين متجه الموضع ومتجه الاتجاه وحل المعادلات المعلمية بشكل متسق.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المتجه المحصل: هو مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المجتمعة.
أضف مركبات المتجهات المقابلة.
انتبه إلى أن ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.

4 · ملخص البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

مجموعتان لهما نفس الوسيط لكن مع تباين مختلف. لا يمكن ملخص واحد أن يصف الموقع والاستقرار معاً.
تدرس هذه الدرس كثافة التردد: التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.

الطريقة

قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
استخدام المدرج التكراري يعتمد على المساحة للتكرار، لذا الارتفاع = التكرار / عرض الفئة.
التقديرات المجمعة تفترض وجود قيم تمثيلية داخل الفئات.

حالة محلولة

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

مثال

فئة من 10 إلى 20 بتردد 30 لها كثافة 30/10=3. فئة من 20 إلى 40 بتردد 20 لها كثافة 20/20=1. لا ينبغي الخلط بين العمود الأعرض لها وكثافة أكبر. للقيم 2,4,4,6,9، الوسيط هو 4 والمتوسط الحسابي هو 5.

ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

ليس بالضرورة أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.
المتوسط المجموع هو تقدير.
الارتباط لا يثبت السببية، والاستقراء الامتدادي يتجاوز النطاق المرصود.

انتبه

غير صحيح: ارتفاع عمود المدرج التكراري يساوي تكراره، حتى مع عدم تساوي أوسع الفئات. مع عدم تساوي أوسع الفئات، يكون الارتفاع هو كثافة التكرار؛ والتكرار هو مساحة العمود.

تطبيقه

اختر عرضاً يتناسب مع نوع البيانات.
قدم مقارنة عددية وما تعنيه بالنسبة للسكان، ولا تستنتج دقة أكبر مما تدعمه العينة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الكثافة التكرارية: التكرار مقسوماً على عرض الفئة، وتُستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.
قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
انتبه: لا يشترط أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.

4 · الاحتمال، الأشجار الاستدلالية والاستدلال الشرطي

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

يحتوي كيس على 3 قطعاً حمراء و2 قطعة زرقاء. أخذ قطعتين بدون إرجاع يغير احتمال اللون الثاني.
تدرس هذه الدرس الاحتمال الشرطي: احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.

الطريقة

اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
عند الإرجاع، يبقى التركيب ثابتاً.
الاحتمال الشرطي هو P(A المعطى B)=P(A∩B)/P(B)، من أجل P(B)>0.

حالة محلولة

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

مثال

بدون إرجاع، P(أحمران)=3/5×2/4=3/10. P(واحد من كل نوع)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. إذا كان P(A∩B)=0.12 وP(B)=0.3، فإن P(A بشرط B)=0.4.

الاحتمالية والأشجار والاستدلال الشرطي — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الانحياز المتبادل يعني عدم وجود تداخل؛ الاستقلالية تعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الحدث الآخر.
الحدثان المنفصلان ذات الاحتمال الموجب ليسا مستقلين.

انتبه

غير صحيح: الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة ليست مستقلة. الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة مرتبطة: إذا حدث أحدهما، فلا يمكن للآخر أن يحدث، لذا P(A و B) = 0 ≠ P(A)P(B).

تطبيقه

الجدول ثنائي الأبعاد يجعل المقام المحدود واضحًا.
قبل استخدام حاصل الضرب P(A)P(B)، برر الاستقلال من السياق أو المعلومات المقدمة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الاحتمال الشرطي: احتمال حدث بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.
اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
انتبه: المتبادلة الاستبعاد تعني عدم التداخل؛ الاستقلال يعني أن معرفة حدوث أحد الأحداث لا يغير احتمال الآخر.

4 · نماذج ذات الحدين، الطبيعية وبوسون

ما الذي يجعل العدد قابلاً للتنبؤ؟

يعد مفتش الجودة عدد العناصر المعيبة. العدد عشوائي، لكن يمكن لنموذج ما وصف نطاقه المحتمل.
تدرس هذه الدرس القيمة المتوقعة: المتوسط المرجح بالاحتمالات لمتغير عشوائي.

الطريقة

النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
E(X) = np و Var(X) = np(1 - p).
لنموذج التوزيع الطبيعي استخدم z = (x - μ) / σ.
يصف نموذج بواسون العدود بمعدل ثابت وفرضيات استقلالية مناسبة.

حالة محلولة

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

مثال

بالنسبة لـ X ثنائية التوزيع(5,0.2)، P(X=0)=0.8^5=0.32768، E(X)=1 وVar(X)=0.8. بالنسبة لكمية طبيعية بـ μ=100، σ=15، فإن القيمة 130 لها z=2. متوسط بواسون قدره 3 في الساعة يعطي متوسط 6 خلال ساعتين.

نماذج التوزيع الثنائي والطبيعي وبواسون — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ليست كل العدادات تتبع التوزيع الثنائي: تغيير p أو وجود الاعتمادية قد يلغي صلاحيته.
بالنسبة لمتغير مستمر، احتمال قيمة واحدة دقيقة يساوي صفرًا.
تصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع متقطع بتوزيع طبيعي.

انتبه

غير صحيح: كل عداد للنجاحات يتبع التوزيع الثنائي بغض النظر عن الاستقلالية. النموذج الثنائي يحتاج تجارب مستقلة باحتمال ثابت؛ التجارب المرتبطة تحطمه.

تطبيقه

اكتب الحدث كمتباينة قبل استخدام دوال التوزيع في الآلة الحاسبة.
اميز بين P(X < k) و P(X ≤ k) ومكمل الذيل.
صغ الافتراضات في سياق المسألة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.

الفكرة الرئيسية

القيمة المتوقعة: المتوسط الموزون بالاحتمالات للمتغير العشوائي.
النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
انتبه: ليست كل عدود تتبع التوزيع ثنائي الحد؛ فإن تغير الاحتمال أو وجود اعتماد يمكن أن يلغي صلاحيته.

4 · اختبار الفرضيات والاستنتاجات السياقية

هل يمكن أن يفسر الحظ النتيجة؟

تدعي مصنع أن نسبة المنتجات المعيبة فقط 10%. تحتوي العينة على عدد أكبر من العيوب، لكن الحظ وحده قد يفسر بعض الفروق.
يدرس هذا الدرس مستوى الدلالة: عتبة الاحتمال المختارة لرفض فرضية الصفر.

الطريقة

صغ H₀ و H₁ بدلالة معلمات المجتمع قبل فحص النتيجة.
احسب احتمال الذيل المناسب تحت فرضية H₀.
ارفض H₀ عندما يحقق الدليل قاعدة المعنى المحددة؛ وإلا فقل إن الدليل غير كافٍ.

حالة محلولة

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$

مثال

For H₀:p=0.1 and H₁:p>0.1 with n=10, observing at least 3 defects has probability 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. At 5%, this is insufficient evidence that the defect rate exceeds 10%.

اختبار الفرضيات والاستنتاجات السياقية — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

عدم رفض H₀ ليس دليلاً على صحة H₀.
اختر الذيل بناءً على H₁، وليس بناءً على أي ذيل يعطي نتيجة صغيرة.
المعنى الإحصائي لا يقيس الحجم العملي للتأثير.

انتبه

غير صحيح: عدم رفض فرضية الصفر يثبت أنها صحيحة. عدم رفض فرضية الصفر يعني فقط عدم وجود ما يكفي من الأدلة ضدها.

تطبيقه

انهِ بجملة تتناول المجتمع والادعاء الأصلي.
State the model's assumptions and consider whether the sampling procedure supports them.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

مستوى المعنى: عتبة الاحتمال المختارة لرفض فرضية الصفر.
صغ H₀ و H₁ بدلالة معلمات المجتمع قبل فحص النتيجة.
انتبه: عدم رفض H₀ ليس دليلاً على صحة H₀.

4 · فترات الثقة، وكاي-تربيع والانحدار

كم مقدار عدم اليقين في متوسط العينة؟

تعطي عينتان مختلفتان وسطين مختلفين. نحتاج إلى عبارة عن عدم اليقين في العينات، وليس وعداً بأن عينة واحدة تساوي المجتمع.
تدرس هذه الدرس الفترة الموثوقة: فترة تُحسب بإجراء مصمم لتغطية معياري المجتمع بمعدل طويل الأمد مُعلن.

الطريقة

للمتوسط الطبيعي بمعلومية σ، فإن فترة 95% هي متوسط العينة±1.96σ/√n.
لتوزيع كاي-تربيع، اجمع (الملاحظة-التوقع)²/التوقع مع عدد الدرجات الصحيحة للحرية.
اختر اختباراً يناسب البيانات والافتراضات.

حالة محلولة

$$\overline x\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

مثال

مع المتوسط=50، σ=10، n=100، الخطأ المعياري=1، والفترة 95% هي [48.04,51.96]. للعدود الملاحظة 30 و20 مقابل التوقعة 25 و25، كاي-تربيع=25/25+25/25=2، قبل تحديد درجات الحرية والعتبة الحرجة للرفض.

فترات موثوقة، كاي-تربيع والانحدار — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

إجراء ثقة 95% لا يعطي احتمال 95% بأن يتحرك متوسط مجتمع ثابت داخل هذه الفترة الواحدة.
التأثيرات المتوقعة والمعايير المقدرة تؤثر على صحة اختبارات كاي-تربيع وعدد درجات الحرية.

انتبه

غير صحيح: الارتباط القوي وحده لا يثبت علاقة سببية. يظهر الارتباط ارتباطاً؛ وقد تفسره متغير ثالث أو الصدفة، لذا تتطلب السببية تجربة أو أدلة أخرى.

تطبيقه

أدرج عدم اليقين في السياق.
في الانحدار، افحص البواقي، وتجنب الاستقراء غير المبرر، وُميّز بين العلاقة الملائمة والتفسير السببي.
يتطلب S3 و IB AI HL حدود نطاق موثقة مختلفة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

فترة الثقة: فترة يتم حسابها بإجراء مصمم لتغطية معيار المجتمع بمعدل طويل الأمد محدد.
للمتوسط الطبيعي بمعلومية σ، فإن فترة 95% هي متوسط العينة±1.96σ/√n.
انتبه: إجراء ثقة 95% لا يعطي احتمال 95% بأن يتحرك متوسط مجتمع ثابت داخل هذه الفترة الواحدة.

5 · المشتقات والنقاط الثابتة

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

الطريقة

بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
النقطة الساكنة تحقق dy/dx=0.
تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

مثال

بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.

المشتقات والنقاط الثابتة — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

لا تعني المشتقة الصفرية دائماً وجود قيمة عظمى أو صغرى: الدالة y=x³ ساكنة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة.
يمكن للنقطة الطرفية أيضاً أن تنتج قيمة قصوى أو دنيا على مجال محدود.

انتبه

غير صحيح: كل نقطة ذات مشتقة صفرية هي قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية. يمكن للمشتقة الصفرية أن تكون أيضاً نقطة انعطال: الدالة y=x³ عند x=0 ليست neither عظمى nor صغرى.

تطبيقه

في مستوى GCSE/IGCSE استخدم فقط نطاق كثيرات الحدود المسموح به حسب المستوى؛ لا تضيف قواعد السلسلة أو الضرب أو القسمة هناك.
في المستوى المتقدم، اربط المشتقة بالمعدلات والتحسين مع مجال صالح.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضًا ميل المماس.
بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
انتبه: المشتقة الصفرية لا تعني دائمًا وجود قيمة عظمى أو صغرى؛ فالمنحنى y=x³ يكون ثابتًا عند 0 ولكنه يستمر في الارتفاع.

5 · إيجاد الجذور والتكامل العددي

ما مدى موثوقية التقريب؟

المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

الطريقة

إذا كانت الدالة متصلة وأخذت إشارات مختلفة عند طرفي فترة، فإن لها جذراً بينهما.
طريقة نيوتن تستخدم x التالية = x - f(x)/f'(x)، بشرط أن يكون المشتق غير صفري.
قاعدة شبه المنحرف تقدر التكامل المحدد باستخدام ارتفاعات أطراف الفترة.

حالة محلولة

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$

مثال

بالنسبة لـ f(x)=x²-2 و x₀=1.5، يعطي نيوتن x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. مع y=x² على [0,2] وشريحتين متساويتين، h=1 ومساحة شبه المنحرف=(1/2)(0+2×1+4)=3؛ المساحة الدقيقة هي 8/3.

إيجاد الجذور والتكامل العددي — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

تغير الإشارة عبر انقطاع لا يثبت وجود جذر.
التكرار قد يتباعد أو يدخل في دورة.
تقدير الزيادة أو النقصان في قاعدة شبه المنحرف يعتمد على الانحناء، وليس فقط على ما إذا كانت الدالة متزايدة.

انتبه

غير صحيح: كل تغير إشارة يثبت وجود جذر، بما في ذلك عبر الانقطاع. يتغير الإشارة للدالة 1/x عند x=0 لكنها ليس لها جذر؛ حيث يظهر الجذر فقط إذا كانت الدالة متصلة عند تلك النقطة.

تطبيقه

قدم معيار توقف وأبلغ عن دقة معقولة.
أكد الجذر المقارب بواسطة قوس إشارتين حول الإجابة المدورة المعلومة؛ واشرح أي فشل في التكرار المختار.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التكرار: تحديث متكرر يُحسب فيه كل تقريب جديد من السابق.
إذا كانت الدالة متصلة وأخذت إشارات مختلفة عند طرفي فترة، فإن لها جذراً بينهما.
انتبه إلى أن تغير الإشارة عبر انقطاع لا يثبت وجود جذر.

5 · اشتقاق السلسلة، والجداء، والحاصل، والاشتقاق الضمني

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

الطريقة

بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
بالنسبة لحاصل الضرب uv، نشتق لتصبح u prime v+uv prime.
بالنسبة لحاصل القسمة u/v، نستخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

مثال

بالنسبة لـ y=(3x+1)^4، y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. عند x=0، الميل هو 12. بالنسبة لـ x²+y²=25، اشتق بشكل ضمني: 2x+2y y prime=0، إذن y prime=-x/y عندما y≠0.

الاشتقاق السلسلي، للمنتج، للقسمة والضمني — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.
في الاشتقاق الضمني، تُضرب كل دالة مشتقة من y بعامل dy/dx.
مقام الكسر يُربَّع.

انتبه

غير صحيح: مشتقة u(x)v(x) ليست حاصل ضرب u prime و v prime. قاعدة الضرب هي (uv)′=u′v+uv′: بالنسبة لـ x·x، المشتقة هي 2x، وليست 1×1=1.

تطبيقه

اختر الصيغة المفيدة قبل الاشتقاق: قد يكون فك كثير الحدود القصير أسهل.
بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية للدالة المركبة.
بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
انتبه: مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.

5 · الاستبدال، الأجزاء والكسور الجزئية

هل يمكننا تكامل العاملين بشكل منفصل؟

حاصل ضرب بسيط يبدو كـ xe^x لا يمكن تكامله عن طريق تكامل كل عامل على حدة.
تدرس هذه الدرس التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل مبنية على مشتقة حاصل الضرب.

الطريقة

استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
بالتجزئة، تكامل u v prime = uv - تكامل u prime v.
للدوال النسبية، قم بالقسمة أولاً إن لزم الأمر، ثم فكّكها إلى كسور جزئية.

حالة محلولة

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

مثال

من أجل تكامل xe^x dx، خذ u=x وv prime=e^x. إذن التكامل هو xe^x-e^x+C. من أجل تكامل 2x/(x²+1) dx، عوض w=x²+1، dw=2x dx؛ الإجابة هي ln(x²+1)+C.

التعويض، التجزئة والكسور الجزئية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

اختيار u وv prime بشكل جيد مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط.
في التعويض المحدد، غيّر الحدود إما أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.

انتبه

غير صحيح: تكامل الضرب يساوي ضرب التكاملات المنفصلة. يتطلب الضرب طريقة مثل التكامل بالتجزئة أو التعويض: ∫x·x dx=x³/3، وليس (x²/2)(x²/2).

تطبيقه

تحقق عن طريق الاشتقاق.
لحجم الدوران حول محور x استخدم V=π تكامل y² dx؛ لا تخلط بين مربع الدالة وتكامل الدالة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل تعتمد على مشتقة حاصل الضرب.
استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
انتبه: اختيار u و v prime بشكل صحيح مهم؛ يجب أن تصبح التكامل المتبقي أبسط.

5 · المعادلات التفاضلية والحلول العددية

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.

الطريقة

بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
استخدم الشرط الابتدائي لإيجاد A.
طريقة أويلر تأخذ y التالية = y+h f(x,y)، مع خطوة مختارة h.

حالة محلولة

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

مثال

مع dy/dx=0.5y و y(0)=2، يكون y=2e^(0.5x). أويلر مع h=0.2 يعطي y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 و y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. القيمة الدقيقة الثانية حوالي 2.4428.

المعادلات التفاضلية والحلول العددية — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.
القسمة على y قد تستبعد الحل التوازني y=0.
دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.

انتبه

غير صحيح: كل حجم خطوة يعطي تقريبًا لأويلر مطابقًا تمامًا. تعتمد طريقة أويلر على حجم الخطوة؛ وعادةً ما تعطي الخطوات الأصغر قيمة أكثر دقة.

تطبيقه

بالنسبة للمعادلات الخطية من الرتبة الثانية، ادمج الدالة التكميلية مع تكامل خاص مناسب، ثم طبق الشروط الابتدائية المطلوبة.
هذا ضمن نطاق الرياضيات المتقدمة؛ تحقق من الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الشرط الابتدائي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من بين عائلة من الحلول.
بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
انتبه: الشرط الابتدائي يحدد ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.

IA · تخطيط الاستكشاف الرياضي

ما الذي يجعل التحقيق رياضياً؟

طالب يرغب في توقع وقت الانتظار في طابور الكافتيريا المدرسية. يحتاج الاستكشاف المفيد إلى سؤال وبيانات ورياضيات يمكن للطالب شرحها.
تدرس هذه الحصة الفرض: وهو شرط يُتبنى لجعل النموذج الرياضي ممكناً ويجب تقييم تأثيره.

الطريقة

صيغ سؤالًا مركّزًا بمتغيرات قابلة للقياس وطريقة ممكنة.
احتفظ بسجل مؤرخ للقرارات والمصادر والحجج الرياضية.
استخدم التكنولوجيا لدعم التحليل، واشرح كل مخرجات مهمة بكلماتك الخاصة.

حالة محلولة

$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$

مثال

سجل الطيار متوسط أوقات انتظار قدرها 3,5,7 دقيقة عندما يكون 10,20,30 أشخاصاً في المقدمة. نموذج أولي هو t=1+0.2n. عند n=25 يتوقع 6 دقيقة. انتظار فعلي قدره 8 يعطي باقٍ 2؛ تحقق من معدلات الخدمة المتغيرة بدلاً من إخفاء عدم التطابق.

أين يكمن الخطأ

لا تنسخ استكشافاً نموذجياً، ولا تخترع بيانات أو تصنع تفاعلاً شخصياً مصطنعاً.
التوقع ليس دليلاً حتى يتم مقارنته بالملاحظات.
الموافقة والخصوصية أمران مهمان عند جمع بيانات المدرسة.

انتبه

Not true: The school-supervised mathematical exploration can be replaced by a timed written mock exam. The exploration is an extended piece of written work assessed on its own criteria; a timed exam tests something different.

تطبيقه

تشرف المدرسة على اعتماد الموضوعات، والنقاط المرجعية، والأصالة، والتقييم.
بالنسبة لمنهج 2021 الحالي، استخدم دليل ومعايير المدرسة الحالية؛ معايير الاستقصاء 2029 تابعة لنسخة تقييم مختلفة.

في مسارك الدراسي

التطبيقات والتفسير HL، أول دورة امتحان لها في 2021.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

افتراض: شرط تم تبنيه لجعل النموذج الرياضي ممكناً ويجب تقييم تأثيره.
صيغ سؤالًا مركّزًا بمتغيرات قابلة للقياس وطريقة ممكنة.
انتبه: لا تنسخ استكشافاً نموذجياً، ولا تخترع بيانات أو تصنع تفاعلاً شخصياً مصطنعاً.

ملاحظات الدراسة

AI: ملاحظات تدريس المسار

1 · الحساب الدقيق والتقدير

هل يمكننا التغليف بدون فائض؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · النسب المئوية، التناسب والاستدلال النسبي

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · المتتاليات، المتسلسلات والتكرار

هل التغير يجمع أم يضرب؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · نماذج سلسلة الإيداع المتكرر والتوقيت

أي خط زمني يصف المجموع؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · تحويلات المصفوفات، والمقلوبات والقيم الذاتية

إلى أين تذهب متجهات الأساس؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · الأعداد المركبة والجذور

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · المجالات، الدوال العكسية والتركيب

ما المدخلات المسموحة؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · الانحدار، والنماذج المالية، والقيم المتبقية

هل يدعم التنبؤ البيانات؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة

لماذا يظل نموذج التناقص موجباً؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

3 · استنتاج الزوايا، التشابه والقياس الهندسي

هل يتناسب الحجم مع الطول؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

3 · المثلثات القائمة والمثلثات غير القائمة

أي جانب يحتاجه السلم؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

3 · المتجهات والتحويل الهندسي