A.7 · LU分解与复合映射的零度
GRE Subject Test · GRE 数学 知识点 28 2:51 英语旁白 · 英中内嵌字幕
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This unit solves a factored linear system by forward and backward substitution, applies row permutations consistently when pivoting is needed, and bounds the kernel dimension of a composition using image-kernel intersections.
本单元用前代和回代求解已分解的线性方程组，在需要选主元时一致地应用行置换，并用像与核的交来界定复合映射核的维数。
A equals L U writes a square matrix as lower times upper triangular.
A = LU 把方阵写成下三角乘上三角。
An invertible matrix may still need row exchanges when a leading pivot is zero: then P A equals L U, and P acts on the right side too.
主元为零时，即使矩阵可逆也可能需要行交换：这时 PA = LU，而 P 也要作用于右端。
Solve L y equals P b from the top, then U x equals y from the bottom.
先从上往下解 Ly = Pb，再从下往上解 Ux = y。
Reusing the factors saves work.
重复使用分解可节省计算。
The kernel of B lies inside the kernel of A after B, and the extra vectors are those B sends into the kernel of A.
B 的核包含在 A∘B 的核中，多出来的向量是被 B 送进 A 的核的那些。
Rank-nullity on B restricted to that kernel gives the formula: the intersection, not the whole kernel of A, adds to the nullity.
把 B 限制在这个核上并用秩–零化度定理，得到这个公式：增加零化度的是交集，而不是 A 的整个核。
On R 6 with nullity A 2 and nullity B 3, rank B is 3, and the intersection of its image with the kernel of A can have dimension 0, 1 or 2.
在 R⁶ 上，A 的零化度为 2，B 的零化度为 3，B 的秩为 3，其像与 A 的核之交的维数可以是 0、1 或 2。
So the nullity of A after B ranges from 3 to 5.
所以 A∘B 的零化度在 3 到 5 之间。
Reversing the composition can change it.
交换复合的次序可能改变它。
Forward substitution through L gives y equals minus 1, 1, 8.
通过 L 前代得 y = (−1, 1, 8)。
Back substitution through U gives x 3 equals 2, x 2 equals minus 1 and x 1 equals 1.
通过 U 回代得 x₃ = 2，x₂ = −1，x₁ = 1。
Multiplying U x gives y, and L y gives b, checking the factor order.
计算 Ux 得 y，Ly 得 b，检验了因子顺序。
Solve with L first and U second, and permute b if P A equals L U.
先用 L 求解，再用 U，若 PA = LU 还要置换 b。
A composition's nullity is not automatically the sum of the two nullities; only the image-kernel intersection adds to the nullity of B.
复合映射的零化度不一定是两个零化度之和；只有像与核的交会加到 B 的零化度上。
Forward: y 1 is 5 and y 2 is 2.
前代：y₁ = 5，y₂ = 2。
Back: x 2 is 1 and x 1 is 4 thirds.
回代：x₂ = 1，x₁ = 4/3。
The product matrix sends 4 thirds, 1 to 5, 12.
乘积矩阵把 (4/3, 1) 送到 (5, 12)。
If P A equals L U, solve L y equals P b; omitting P solves a different system.
若 PA = LU，就解 Ly = Pb；漏掉 P 就解了另一个方程组。
Rank B is two, so the nullity of A B is 3 plus the dimension of the image of B meeting the kernel of A.
B 的秩为 2，所以 AB 的零化度是 3 加上 B 的像与 A 的核之交的维数。
Two planes in R 5 can meet in dimension 0, 1 or 2, and explicit choices attain each: nullity 3, 4 or 5.
R⁵ 中两个二维子空间的交可以是 0、1 或 2 维，显式的选取可以实现每一种：零化度为 3、4 或 5。
Check yourself.
自我检测。
Solve with L first, using P b if there is pivoting.
先用 L 求解，有选主元时用 Pb。
The 3 by 3 system gives 1, minus 1, 2.
3 × 3 方程组的解是 (1, −1, 2)。
On R 6 the composed nullity ranges from 3 to 5, and on R 5 it can be 3, 4 or 5.
在 R⁶ 上复合映射的零化度在 3 到 5 之间，在 R⁵ 上可以是 3、4 或 5。