Least-Squares Regression · Regressão dos Mínimos Quadrados
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| least-squares line/liːst skweəz laɪn/ | reta de mínimos quadrados |
| coefficient of determination/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv dɪˌtɜːmɪˈneɪʃn/ | coeficiente de determinação |
Why "least squares"?
- Many lines could pass through a cloud — which is best?
- The least-squares line 最小二乘线 is the one that makes the sum of squared residuals as small as possible.
- Squaring keeps errors positive and punishes big misses extra hard.
- Minimizing that total is what pins down the unique best-fit slope and intercept.
Por que "mínimos quadrados"?
- Muitas retas poderiam passar por uma nuvem de pontos — qual é a melhor?
- A reta dos mínimos quadrados 最小二乘线 é a que torna a soma dos resíduos quadrados o menor possível.
- Elevar ao quadrado mantém os erros positivos e pune ainda mais os grandes desvios.
- Minimizar esse total é o que define a inclinação e o intercepto únicos de melhor ajuste.
r-squared: variation explained
- The coefficient of determination 决定系数 $r^2$ is the fraction of the variation in $y$ explained by the model.
- It's literally the square of the correlation, so $0 \le r^2 \le 1$.
- $r^2 = 0.64$ means "$64\%$ of the variation in $y$ is explained by the linear relationship with $x$."
- The rest ($36\%$) is due to other factors and scatter.
R-quadrado: variação explicada
- O coeficiente de determinação 决定系数 $r^2$ é a fração da variação em $y$ explicada pelo modelo.
- É literalmente o quadrado da correlação, então $0 \le r^2 \le 1$.
- $r^2 = 0.64$ significa "$64\%$ da variação em $y$ é explicada pela relação linear com $x$."
- O restante ($36\%$) deve-se a outros fatores e à dispersão.
s: typical prediction error
- The standard deviation of the residuals $s$ is the typical size of a prediction error.
- It's in the units of $y$: "predictions are typically off by about $s$."
- Smaller $s$ = tighter fit; larger $s$ = looser predictions.
- $s$ answers "how far off, in real units?" while $r^2$ answers "what fraction explained?"
s: erro típico de previsão
- O desvio padrão dos resíduos $s$ é o tamanho típico de um erro de previsão.
- Está nas unidades de $y$: "as previsões costumam estar erradas em cerca de $s$."
- Menor $s$ = ajuste mais apertado; maior $s$ = previsões mais frouxas.
- $s$ responde "o quão longe, em unidades reais?" enquanto $r^2$ responde "que fração foi explicada?"
Slope from summary stats
- You can build the line from summary statistics without the raw data:
- Slope: $b = r\dfrac{s_y}{s_x}$ — correlation scaled by the ratio of spreads.
- Intercept: the line always passes through $(\bar{x}, \bar{y})$, so $a = \bar{y} - b\bar{x}$.
- These two formulas recover $\hat{y} = a + bx$ from $r$, the means, and the standard deviations.
Inclinação a partir de estatísticas resumidas
- Você pode construir a reta a partir de estatísticas resumidas sem os dados brutos:
- Inclinação: $b = r\dfrac{s_y}{s_x}$ — correlação escalada pela razão das dispersões.
- Intercepto: a reta sempre passa por $(\bar{x}, \bar{y})$, então $a = \bar{y} - b\bar{x}$.
- Estas duas fórmulas recuperam $\hat{y} = a + bx$ a partir de $r$, as médias e os desvios padrão.
Don't confuse the two fit numbers. $r^2$ is a unitless fraction ("$64\%$ of variation explained"); $s$ is a typical error in the units of $y$ ("off by about $s$"). And when you compute the slope, mind the order: $b = r\,s_y/s_x$ — it's $s_y$ (response spread) over $s_x$ (explanatory spread), not the reverse.
Não confunda os dois números de ajuste. $r^2$ é uma fração adimensional ("$64\%$ da variação explicada"); $s$ é um erro típico nas unidades de $y$ ("errando em cerca de $s$"). E ao calcular a inclinação, preste atenção à ordem: $b = r\,s_y/s_x$ — é $s_y$ (dispersão da resposta) sobre $s_x$ (dispersão explicativa), não o inverso.
A fit has $r = 0.8$, $s_x = 2$, $s_y = 10$, $\bar{x}=5$, $\bar{y}=60$.
- Slope: $b = 0.8 \times \dfrac{10}{2} = 4$.
- Intercept: $a = 60 - 4(5) = 40$, so $\hat{y} = 40 + 4x$.
- $r^2 = 0.64$: $64\%$ of the variation in $y$ is explained by the model.
Um ajuste tem $r = 0.8$, $s_x = 2$, $s_y = 10$, $\bar{x}=5$, $\bar{y}=60$.
- Inclinação: $b = 0.8 \times \dfrac{10}{2} = 4$.
- Intercepto: $a = 60 - 4(5) = 40$, logo $\hat{y} = 40 + 4x$.
- $r^2 = 0.64$: $64\%$ da variação em $y$ é explicada pelo modelo.
The least-squares line minimizes the sum of squared residuals. $r^2$ is the fraction of variation in $y$ explained (unitless, $0$–$1$); $s$ is the typical prediction error (units of $y$). From summary stats, $b = r\dfrac{s_y}{s_x}$ and the line passes through $(\bar{x}, \bar{y})$.
A reta dos mínimos quadrados minimiza a soma dos resíduos quadrados. $r^2$ é a fração da variação em $y$ explicada (adimensional, $0$–$1$); $s$ é o erro típico de previsão (unidades de $y$). De estatísticas resumidas, $b = r\dfrac{s_y}{s_x}$ e a reta passa por $(\bar{x}, \bar{y})$.
The best-fit least-squares line · A melhor reta dos mínimos quadrados
The line that makes the total squared vertical gap smallest. · A linha que torna a soma total das distâncias verticais quadradas menor.
With r = 0.8, s_x = 2, s_y = 10, find the slope b = r·(s_y/s_x). · Com r = 0.8, s_x = 2, s_y = 10, encontre a inclinação b = r·(s_y/s_x).
b = 0.8 × (10/2) = 0.8 × 5 = 4.
If the correlation is r = 0.8, what is r-squared? · Se a correlação for r = 0.8, qual é o r-quadrado?
r² = 0.8² = 0.64.
r² = 0.64 is best interpreted as... · r² = 0.64 é melhor interpretado como...
r² is the fraction of y's variation explained. · r² é a fração da variação de y explicada.
The least-squares line minimizes the sum of the squared residuals. · A reta dos mínimos quadrados minimiza a soma dos resíduos quadrados.
That is exactly the criterion that defines it. · Esse é exatamente o critério que a define.
Which quantity is a typical prediction error, measured in the units of y? · Qual quantidade é um erro típico de previsão, medido nas unidades de y?
s is in y-units; r² and r are unitless. · s está em unidades de y; r² e r são adimensionais.