The Normal Distribution · A Distribuição Normal
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|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribuição normal |
| empirical rule/emˈpɪrɪkl ruːl/ | regra empírica |
| standard normal/ˈstændəd ˈnɔːml/ | normal padrão |
The famous bell curve
- Many real variables — heights, measurement errors, test scores — follow a bell-shaped pattern.
- The normal distribution 正态分布 is the idealized bell curve, symmetric about its center.
- It's completely described by two numbers: the mean $\mu$ (center) and standard deviation $\sigma$ (spread).
- Because so much falls into this shape, the normal model is the workhorse of statistics.
A famosa curva em sino
- Muitas variáveis reais — alturas, erros de medição, pontuações de testes — seguem um padrão em formato de sino.
- A distribuição normal 正态分布 é a curva em sino idealizada, simétrica em torno de seu centro.
- Ela é completamente descrita por dois números: a média $\mu$ (centro) e o desvio padrão $\sigma$ (dispersão).
- Como tanto dados se encaixam nesse formato, o modelo normal é o principal instrumento da estatística.
A normal distribution is completely described by its... · Uma distribuição normal é completamente descrita por sua...
Two numbers: $\mu$ (center) and $\sigma$ (spread). · Dois números: $\mu$ (centro) e $\sigma$ (dispersão).
The empirical rule (68–95–99.7)
- For a normal distribution, the empirical rule 经验法则 tells you how much data falls within a few SDs of the mean:
- About $68\%$ within $1$ standard deviation of the mean.
- About $95\%$ within $2$ SDs; about $99.7\%$ within $3$ SDs.
- These three numbers let you estimate proportions without a calculator.
A regra empírica (68–95–99.7)
- Para uma distribuição normal, a regra empírica 经验法则 diz quantos dados caem dentro de alguns DPs da média:
- Cerca de $68\%$ dentro de $1$ desvio padrão da média.
- Cerca de $95\%$ dentro de $2$ DP; cerca de $99.7\%$ dentro de $3$ DP.
- Esses três números permitem estimar proporções sem calculadora.
The normal bell curve · A curva em sino normal
Shade a normal curve by z-score — about 68% lies within 1 SD, 95% within 2, 99.7% within 3. · Sombree uma curva normal por escore-z — cerca de 68% está dentro de 1 DP, 95% dentro de 2, 99.7% dentro de 3.
About what percent of a normal distribution lies within $1$ standard deviation of the mean? · Aproximadamente que porcentagem de uma distribuição normal fica dentro de $1$ desvios padrão da média?
The empirical rule: about $68\%$. · A regra empírica: cerca de $68\%$.
About what percent lies within $2$ standard deviations of the mean? · Aproximadamente que porcentage fica dentro de $2$ desvios padrão da média?
About $95\%$ within $2$ SDs. · Cerca de $95\%$ dentro de $2$ DPs.
z-scores and the standard normal
- Convert any value to a $z$-score $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ — its distance from the mean in SDs.
- The standard normal 标准正态 distribution has mean $0$ and SD $1$; every normal curve becomes it after standardizing.
- Use a $z$-table (or technology) to turn a $z$-score into a proportion or percentile.
- This is how you find "what percent scored below $x$."
z-scores e a normal padrão
- Converta qualquer valor para um $z$-score $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ — sua distância da média em DP.
- A normal padrão 标准正态 distribuição tem média $0$ e DP $1$; toda curva normal se torna ela após a padronização.
- Utilize uma tabela de $z$ (ou tecnologia) para converter um escore de $z$ em uma proporção ou percentil.
- É assim que você encontra "que percentual tirou nota abaixo de $x$."
For · A favor $\mu=170$, $\sigma=8$, find the $z$-score of $x=186$. · Para $\mu=170$, $\sigma=8$, encontre o escore $z$ de $x=186$.
$z=(186-170)/8=2$.
The standard normal distribution has mean $0$ and standard deviation ____. · A distribuição normal padrão tem média $0$ e desvio padrão ____.
Standardizing gives mean $0$, SD $1$. · Padronizar resulta em média $0$, DP $1$.
Is a normal model reasonable?
- Not everything is normal — check before assuming it.
- A roughly symmetric, bell-shaped, single-peaked graph supports a normal model.
- Strong skew, multiple peaks, or heavy outliers mean a normal model is a poor fit.
- Assess the data's shape first; the empirical rule and $z$-tables only apply if it's approximately normal.
O modelo normal é razoável?
- Nem tudo é normal — verifique antes de assumir.
- Um gráfico aproximadamente simétrico, em formato de sino, unimodal apoia um modelo normal.
- Assimetria forte, múltiplos picos ou outliers pesados significam que um modelo normal é um mau ajuste.
- Avalie a forma dos dados primeiro; a regra empírica e as tabelas de $z$ só se aplicam se for aproximadamente normal.
A normal model is a poor fit when the data are... · Um modelo normal é um ajuste ruim quando os dados são...
Skew or multiple peaks break the normal assumption. · Assimetria ou múltiplos picos quebram a suposição de normalidade.
The empirical rule and $z$-table proportions apply only to (approximately) normal distributions — don't use them on strongly skewed data. And the empirical rule is 68–95–99.7 (for $1$, $2$, $3$ SDs), in that order; mixing up the percentages is a common slip. Always standardize with $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ before reading a table.
A regra empírica e as proporções da tabela $z$ aplicam-se apenas a distribuições (aproximadamente) normais — não as utilize em dados fortemente assimétricos. Além disso, a regra empírica é 68–95–99.7 (para $1$, $2$, $3$ desvios-padrão), nessa ordem; confundir as percentagens é um erro comum. Padronize sempre com $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ antes de consultar uma tabela.
Heights are normal with $\mu=170$ cm, $\sigma=8$ cm. What percent are between $162$ and $178$ cm?
- $162=170-8$ and $178=170+8$ — exactly $1$ SD below and above the mean.
- By the empirical rule, about $68\%$ of heights fall within $1$ SD.
- So roughly $68\%$ are between $162$ and $178$ cm.
Alturas são normais com $\mu=170$ cm, $\sigma=8$ cm. Que percentual está entre $162$ e $178$ cm?
- $162=170-8$ e $178=170+8$ — exatamente $1$ DP abaixo e acima da média.
- Pela regra empírica, cerca de $68\%$ das alturas caem dentro de $1$ DP.
- Então aproximadamente $68\%$ estão entre $162$ e $178$ cm.
The normal distribution is a symmetric bell curve set by its mean $\mu$ and standard deviation $\sigma$. The empirical rule (68–95–99.7) gives proportions within $1$/$2$/$3$ SDs. Standardize with a $z$-score $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ and use the standard normal for exact proportions — but only when a normal model reasonably fits the data.
A distribuição normal é uma curva de sino simétrica definida por sua média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$. A regra empírica (68–95–99.7) fornece proporções dentro de $1$/$2$/$3$ desvios-padrão. Padronize com um escore-$z$z $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ e use a normal padrão para proporções exatas — mas apenas quando um modelo normal se ajusta adequadamente aos dados.