Foco HL apoiado. Primeira avaliação 2021; atual até 2028. Curso de primeira-avaliação-2029 é separado. Guia restante, avaliação e requisitos práticos retêm seus registros pendentes.
Pré-requisitos: leia as quantidades e unidades declaradas, use aritmética e as condições do modelo abaixo. Cada lição desenvolve seu próprio método antes da transferência independente.
Estes são exemplos didáticos originais ou explicitamente fictícios, não medições reais ou investigações avaliadas concluídas por aprendizes.
Um fornecedor empacota 72 lápis e 90 canetas em sacolas de presente idênticas. Como evitar sobras?
Esta aula estuda fator primo: um número primo que divide exatamente o inteiro.
Escolha a estrutura matemática
Fatores primos revelam estrutura compartilhada. Use as menores potências primas comuns para o MDC e as maiores para o MMC. Estime antes de calcular; use parênteses para preservar a ordem das operações.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
72=2^3×3^2 e 90=2×3^2×5. Seu MDC é 2×9=18. Faça 18 sacolas com 4 lápis e 5 canetas cada. Seu MMC é 2^3×3^2×5=360.
Teste um atalho tentador
O MDC divide ambos os números; o MMC é um múltiplo de ambos. Eles respondem a perguntas diferentes. Uma estimativa decimal não é uma fração exata.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
O MDC de dois inteiros positivos é sempre maior que qualquer um dos inteiros. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Interprete uma nova situação
Para uma prova sem calculadora, mantenha as frações exatas e mostre a simplificação. Para uma prova com calculadora, insira a expressão completa e compare com sua estimativa.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Análise e Abordagens HL atual na primeira avaliação-2021. Este é um suporte conceitual autoral; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
Um número primo que divide o inteiro exatamente. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.
1.3
Índices, radicais e notação científica
Quão pequena é uma medida microscópica?
Um microscópio registra um comprimento de 0.000072 metros. Uma representação compacta deve manter seu tamanho correto.
Esta aula estuda índice: a potência à qual uma base é elevada.
Escolha a estrutura matemática
Para a mesma base positiva, multiplicação soma índices e divisão os subtrai. Um índice negativo significa recíproco; um índice fracionário representa uma raiz. A notação científica tem 1≤a<10.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
0.000072=7.2×10^(-5). Além disso 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Simplifique √72=6√2, depois racionalize $1/\sqrt{2}$=√2/2.
Teste um atalho tentador
As leis de potências não transformam uma soma em uma única potência: 2^3+2^4=24, não 2^7. Não arredonde um radical quando for pedido uma resposta exata.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
Para todo a positivo, a^2+a^3 é igual a a^5. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Interprete uma nova situação
Verifique as potências de dez contra a quantidade original. Use radicais para geometria exata e arredonde apenas o comprimento final quando a questão pedir um decimal.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Análise e Abordagens HL atual na primeira avaliação-2021. Este é um suporte conceitual autoral; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
O expoente ao qual uma base está elevada. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.
1.4
Sequências, séries e recorrência
A alteração soma ou multiplica?
Um plano de poupança adiciona ¥30 a mais toda semana; um modelo populacional cresce 5% ao ano. Diferenças iguais e razões iguais exigem modelos diferentes.
Esta lição estuda razão comum: O multiplicador constante entre termos consecutivos de uma progressão geométrica.
Escolha a estrutura matemática
Para uma progressão aritmética, u_n=a+(n-1)d e S_n=n(2a+(n-1)d)/2. Para uma progressão geométrica, u_n=ar^(n-1) e S_n=a(1-r^n)/(1-r). Uma soma geométrica infinita existe apenas se |r|<1.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
Para a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 e S_8=8(10+21)/2=124. Para a=12,r=1/2, S infinito=12/(1-1/2)=24. Para u_(n+1)=2u_n+1 com u_1=1, os próximos termos são 3,7,15.
Teste um atalho tentador
O primeiro termo tem índice 1, logo o expoente é n-1. Uma sequência é uma lista; uma série é uma soma. Uma sequência geométrica pode alternar sinal e ainda convergir.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
Toda série geométrica tem soma finita no infinito. Essa afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Interprete uma nova situação
Explique se o contexto justifica mudança aditiva ou multiplicativa. Em finanças, distinga um depósito único de uma série de depósitos antes de escolher uma fórmula de soma.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Análise e Abordagens HL atual na primeira avaliação-2021. Este é um suporte conceitual autoral; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
O multiplicador constante entre termos consecutivos de uma progressão geométrica. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.
1.5
Porcentagens, razão e raciocínio proporcional
Podemos recuperar o preço original?
Um casaco teve seu preço reduzido em 20% para ¥240. O desconto aplica-se ao preço original, não ao preço de venda.
Esta lição estuda multiplicador: Um fator que realiza uma variação percentual em uma única multiplicação.
Escolha a estrutura matemática
Um aumento de p% tem multiplicador 1+p/100; uma diminuição tem multiplicador 1-p/100. Inverta uma porcentagem dividindo pelo multiplicador. Em uma razão, encontre primeiro o número total de partes.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
Seja o preço original P. O modelo é: preço de venda=0.8P. Logo P=240/0.8=300. Um aumento posterior de 20% resulta em 240×1.2=288, portanto as duas alterações não se cancelam.
Teste um atalho tentador
Uma porcentagem usa uma base declarada. Subtrair as porcentagens perde essa base. Para uma mudança composta, multiplique os multiplicadores; não some as porcentagens.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
Uma diminuição de 20% seguida por um aumento de 20% restaura o preço inicial. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Interprete uma nova situação
Para proporção direta use y=kx; para proporção inversa use y=k/x. Calcule k a partir de um par conhecido antes de usar um novo valor. Informe o que foi mantido constante.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Análise e Abordagens HL atual na primeira avaliação-2021. Este é um suporte conceitual autoral; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
Um fator que realiza uma variação percentual em uma única multiplicação. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.
1.6
Números complexos e raízes
E se a raiz não for real?
A equação x²+1=0 não possui raízes reais. Estender o sistema numérico nos permite representar e calcular com ambas as raízes.
Esta lição estuda conjugado complexo: O número obtido invertendo o sinal da parte imaginária.
Escolha a estrutura matemática
Escreva z=a+bi com i²=-1. O conjugado é a-bi e z vezes seu conjugado=a²+b². O módulo é √(a²+b²); o argumento requer o quadrante correto. Raízes conjugadas ocorrem para polinômios com coeficientes reais.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
Para z=3+4i, |z|=5 e o conjugado de z=3-4i. O recíproco é (3-4i)/25. Para x²-6x+13=0, as raízes são 3±2i. Multiplicar pelo conjugado torna um denominador complexo real.
Teste um atalho tentador
A raiz quadrada de uma soma não é a soma das raízes quadradas. Uma tangente inversa sozinha pode retornar o quadrante errado. Não confunda módulo com módulo ao quadrado.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
Para a+bi, seu módulo é sempre a+b. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Interprete uma nova situação
Desenhe o eixo real horizontalmente e o eixo imaginário verticalmente. Para produtos, os módulos multiplicam e os argumentos somam; potências estendem esse padrão geométrico através do teorema de De Moivre.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Análise e Abordagens HL atual na primeira avaliação-2021. Este é um suporte conceitual autoral; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
O número obtido invertendo o sinal da parte imaginária. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas suposições e interprete o resultado.
1.7
Expansão binomial e aproximações válidas
Como uma pequena alteração afeta uma potência?
Uma pequena mudança na medida afeta uma potência de uma quantidade. Uma expansão pode mostrar a magnitude dos efeitos de primeira e segunda ordem.
Esta aula estuda o coeficiente binomial: O número de maneiras de escolher uma quantidade especificada de objetos de um conjunto.
Escolha a estrutura matemática
Para inteiro positivo n, (a+b)^n é uma expansão binomial finita. Para n não inteiro, expanda (1+x)^n como 1+nx+n(n-1)x²/2+... com |x|<1. Coloque as constantes fora do fator antes de usar esta forma.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Resolva um caso verificado
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Para (1+x)^(-1), os três primeiros termos são 1-x+x²; em x=0.1 isso resulta em 0.91 contra o valor exato 1/1.1≈0.909091.
Teste um atalho tentador
Uma expansão em 2x exige que |2x|<1 para a série infinita, não meramente |x|<1. Expansões com expoente inteiro positivo são finitas e não possuem essa restrição de convergência.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
Toda expansão binomial é um polinômio finito, incluindo potências que não são inteiros positivos. Essa afirmação é falsa. Explique qual definição ou pressuposto ela viola.
Interprete uma nova situação
Indique o intervalo de validade junto com uma aproximação. Mantenha termos suficientes para sustentar a precisão solicitada e distinga um coeficiente de todo o termo contendo x.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Análise e Abordagens HL atual na primeira avaliação-2021. Este é um suporte conceitual autoral; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
O número de maneiras de escolher uma quantidade especificada de objetos de um conjunto. Escolha a relação, mostre o método, verifique seus pressupostos e interprete o resultado.
1.8
Séries, diferenças finitas e expansões de Taylor
Um polinômio pode substituir uma exponencial nas proximidades?
Próximo a um ponto conhecido, uma função complexa pode ser substituída por uma aproximação polinomial. A aproximação precisa de um centro e de uma escala válida.
Esta aula estuda o polinômio de Taylor: um polinômio formado pelas derivadas de uma função em um centro escolhido.
Escolha a estrutura matemática
Em torno de x=a, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... quando a expansão é válida. Em a=0, trata-se de uma expansão de Maclaurin. Somas finitas também podem simplificar-se por cancelamento ou fórmulas de soma padrão.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
Os três primeiros termos de e^x são 1+x+x²/2. Em x=0.1, isso resulta em 1.105, próximo a e^0.1≈1.105170. Para a soma de k² de k=1 até 5, n(n+1)(2n+1)/6 resulta em 5×6×11/6=55.
Teste um atalho tentador
O fatorial pertence ao denominador de cada coeficiente de Taylor. O centro da expansão nem sempre é zero. Uma aproximação próxima ao seu centro pode ser ruim longe dele.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
Um polinômio de Taylor é sempre exato para a função original em qualquer entrada. Essa afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Interprete uma nova situação
Para uma série telescópica, escreva vários termos e identifique ambas as extremidades sobreviventes. Para uma aproximação de Taylor, indique sua ordem e compare com um valor conhecido ou uma estimativa de resto, conforme necessário.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Análise e Abordagens HL atual na primeira avaliação-2021. Este é um suporte conceitual autoral; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
Polinômio formado pelas derivadas de uma função em um centro escolhido. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.
