Matematika: mengapa pembuktian menetapkan lebih banyak daripada contoh?
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | Conjecture |
| proof/pruːf/ | Bukti |
| induction/ɪnˈdʌkʃn/ | Induksi Matematika |
Pola tampaknya terus berlanjut
- Bilangan ganjil pertama adalah 1; dua bilangan pertama berjumlah 4; tiga bilangan pertama berjumlah 9. Seorang siswa mengklaim bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama selalu sama dengan n².
- Sebuah konjektur adalah pernyataan yang diusulkan yang menunggu pembuktian. Memeriksa tiga kasus menunjukkan adanya pola tetapi meninggalkan tak hingga banyak bilangan bulat positif yang belum diperiksa.
Menyatakan klaim dan domainnya
- Klaim ini berlaku untuk setiap bilangan bulat positif n dan daftar 1, 3, 5, hingga 2n−1. Ini tidak berlaku untuk kumpulan bilangan ganjil sembarang.
- Sebuah bukti memberikan rantai alasan yang valid yang mencakup domain yang stated. Satu contoh penyangkal dapat membantah klaim universal, sementara banyak contoh sukses tidak sendiri-sendiri dapat menetapkannya.
Apa yang ditetapkan oleh penjumlahan 1, 4, dan 9 secara mandiri?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pengamatan terbatas tidak mencakup seluruh domain.
Menjelaskan bagaimana kasus berikutnya mengikuti
- Misalkan jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah n². Bilangan ganjil berikutnya adalah 2n+1, sehingga jumlah berikutnya adalah n²+2n+1=(n+1)². Langkah ini berlaku untuk setiap bilangan bulat positif n.
- Kasus awal adalah n=1, di mana jumlah adalah 1=1². Memulai dari sana dan menerapkan langkah umum menetapkan setiap kasus bilangan bulat positif yang bersusun.
Berapakah bilangan ganjil berikutnya setelah 2n−1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bilangan ganjil berturut-turut berbeda sebesar 2.
Memeriksa apa yang diasumsikan oleh penalaran
- Ini adalah induksi: kasus awal yang valid ditambah satu langkah dari setiap kasus ke kasus berikutnya. Kedua bagian ini penting. Satu langkah saja tidak membuktikan bahwa rantai tersebut dimulai.
- Tanyakan apakah aljabar, definisi suku berikutnya, dan domain sudah benar. Kesalahan perhitungan atau urutan awal yang berubah dapat membatalkan argumen.
Langkah induksi yang sah cukup bahkan ketika tidak ada kasus awal yang ditetapkan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Transisi umum memerlukan kasus yang telah ditetapkan sebagai titik awal rantai.
Mengapa jumlah 3+5+7=15 bukan merupakan contoh penyangkal?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Daftar ini berbeda dengan yang ditentukan dalam klaim.
Bandingkan pembuktian dengan pengamatan secara adil
- Alasan untuk percaya adalah pada rantai umum, bukan jumlah contoh yang diuji. Diagram beberapa persegi dapat menjelaskan ide, tetapi argumen harus menunjukkan mengapa konstruksi tersebut dapat diperluas.
- Tanyakan bagaimana pembenaran matematis berbeda dengan memeriksa pengamatan berulang. Jangan menyimpulkan bahwa pembuktian menyelesaikan klaim di luar asumsinya atau bahwa pengujian empiris tidak memiliki nilai dalam bidangnya sendiri.
Cocokkan setiap bagian pembuktian dengan perannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sebuah pembuktian harus menghubungkan titik awalnya, transisinya, dan domainnya.
Alasan mana yang mendukung klaim universal?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Penalaran umum, bersama dengan awal yang valid, menetapkan ranah.
Untuk n=1, jumlah adalah 1. Asumsikan jumlah hingga 2n−1 adalah n². Menambahkan 2n+1 menghasilkan n²+2n+1, yang sama dengan (n+1)². Kasus dasar dan transisi umum menetapkan klaim untuk semua bilangan bulat positif. Daftar 3,5,7 memiliki jumlah 15, bukan 9, karena tidak dimulai dari 1. Daftar berbeda itu berada di luar klaim asli, bukan contoh penyangkal.
Jangan gunakan pemeriksaan kalkulator yang berhasil untuk n=100 sebagai pengganti transisi umum. Hal itu hanya memeriksa satu kasus tambahan.
Nyatakan domain, justifikasi kasus awal, dan tetapkan langkah umum yang valid; jelaskan secara spesifik apa yang diliputi oleh pembuktian yang dihasilkan.