Pencarian akar dan integrasi numerik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | iterasi |
Seberapa andal sebuah pendekatan?
- Persamaan nonlinear tidak memiliki solusi eksak yang praktis. Pendekatan tetap memerlukan bukti bahwa ia dapat diandalkan.
- Pelajaran ini mempelajari iterasi: Pembaruan berulang di mana setiap pendekatan baru dihitung dari yang sebelumnya.
Pilih struktur matematika
- Fungsi kontinu dengan tanda berlawanan pada dua titik ujung memiliki akar di antara keduanya. Metode Newton menggunakan x next=x-f(x)/f prime(x), dengan turunan tak nol. Aturan trapesium memperkirakan integral tentu menggunakan tinggi titik ujung.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
f(x)=1/x berubah tanda antara -1 dan 1. Mengapa hal ini TIDAK membuktikan adanya akar di [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Penalaran nilai antara memerlukan kontinuitas pada seluruh interval. Pada asimtot x=0, fungsi melompat dari negatif ke positif tanpa adanya akar.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk f(x)=x²-2 dan x₀=1.5, Newton memberikan x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. Dengan y=x² pada [0,2] dan dua strip sama besar, h=1 dan luas trapesium=(1/2)(0+2×1+4)=3; luas eksaknya adalah 8/3.
Pencarian akar dan integrasi numerik
Fungsi kontinu dengan tanda berlawanan di dua titik ujung memiliki akar di antara keduanya
Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.
Setelah satu langkah Newton untuk x²-2 dari x₀=1.5, temukan x₁.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x₁=1.5-(1.5²-2)/(2×1.5)=17/12≈1.416667.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Perubahan tanda melintasi ketidakterputusan tidak membuktikan adanya akar. Iterasi dapat menyimpang atau membentuk siklus. Perkiraan lebih atau kurang dari aturan trapesium bergantung pada kelengkungan, bukan hanya apakah fungsi meningkat.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap perubahan tanda membuktikan adanya akar, termasuk satu yang melintasi titik diskontinu. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Gunakan dua pita untuk estimasi trapesium integral x² dari 0 ke 2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
h=1 dengan tinggi 0,1,4 memberikan (1/2)(0+2×1+4)=3.
Setiap perubahan tanda membuktikan adanya akar, termasuk yang melintasi ketidaklanjutan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Perubahan tanda melintasi ketidaklanjutan tidak membuktikan adanya akar. Iterasi bisa divergen atau berosilasi. Estimasi lebih tinggi atau lebih rendah aturan trapesium bergantung pada kelengkungan, bukan hanya apakah fungsi meningkat.
Interpretasikan situasi baru
- Berikan kriteria penghentian dan laporkan akurasi yang masuk akal. Konfirmasi akar yang didekati dengan rentang tanda di sekitar jawaban bulat yang disebutkan; jelaskan kegagalan iterasi yang dipilih.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan nilai eksak integral x² dari 0 ke 2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Integral eksaknya adalah [x³/3] dari 0 ke 2=8/3.
Pasangkan setiap metode numerik dengan pembaruan atau aturannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Setiap metode memiliki kondisinya sendiri: biseksi membutuhkan perubahan tanda yang kontinu, Newton membutuhkan turunan tak nol, dan aturan trapesium membutuhkan lebar strip yang sama.
Gunakan ini dalam kursus anda
- Penilaian pertama saat ini-2021 Aplikasi dan Interpretasi SL. Ini adalah dukungan konsep berbasis penulis; panduan lengkap diperlukan untuk memvalidasi setiap tujuan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Pembaruan berulang di mana setiap aproksimasi baru dihitung dari sebelumnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.