Persamaan diferensial linear orde dua
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | Fungsi komplementer |
Mengapa kita membutuhkan dua kondisi awal?
- Model perpindahan melibatkan kecepatan dan percepatan. Menyelesaikan hanya persamaan laju orde pertama tidak dapat menangkap kedua kondisi awal.
- Pelajaran ini mempelajari fungsi komplementer: Solusi umum dari persamaan diferensial linear homogen yang terkait.
Pilih struktur matematika
- Untuk y''+ay'+by=f(x), selesaikan kuadrat pembantu untuk bagian homogen. Tambahkan integral parsial yang sesuai untuk suku pemaksa. Akar ganda dan kompleks memerlukan bentuk yang benar.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapa persamaan orde dua membutuhkan DUA syarat untuk menentukan solusi?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fungsi komplementer y=Ae^x+Be^(2x) membawa dua konstanta sembarang. Setiap syarat memberikan satu persamaan linear dalam A dan B; hanya dua syarat independen yang menentukan keduanya.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk y''-3y'+2y=0, persamaan pembantu adalah m²-3m+2=0 dengan akar 1,2. Oleh karena itu y=Ae^x+Be^(2x). Dengan y(0)=1 dan y'(0)=0, A+B=1 dan A+2B=0, sehingga A=2, B=-1.
Persamaan diferensial linear orde dua
Untuk y double prime+ay prime+by=f(x), selesaikan kuadrat bantu untuk bagian homogen
Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.
Untuk A+B=1 dan A+2B=0, temukan A.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kurangkan A+B=1 dari A+2B=0: B=-1, oleh karena itu A=2.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Dua konstanta sembarang membutuhkan dua kondisi independen. Jika integral parsial percobaan menduplikasi suku fungsi komplementer, kalikan percobaan dengan x sesuai kebutuhan. Jangan buang solusi osilasi yang valid hanya karena akar pembantu bersifat kompleks.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Satu nilai awal selalu cukup untuk menentukan kedua konstanta dalam solusi umum orde dua. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Untuk kondisi tersebut, temukan B.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua untuk mendapatkan B=-1.
Satu nilai awal saja selalu cukup untuk menentukan kedua konstanta dalam solusi umum orde dua.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dua konstanta sembarang memerlukan dua kondisi independen. Jika integral khusus percobaan menduplikasi suku fungsi pelengkap, kalikan dengan x sesuai kebutuhan. Jangan buang solusi osilasi yang valid hanya karena akar bantu bersifat kompleks.
Interpretasikan situasi baru
- Turunkan ekspresi akhir dan substitusikan ke dalam persamaan diferensial asli. Periksa kedua kondisi awal secara terpisah, dan interpretasikan interval solusi yang diperbolehkan.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan akar yang lebih besar dari m²-3m+2=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Faktorkan m²-3m+2=(m-1)(m-2); akar yang lebih besar adalah 2.
Cocokkan setiap bagian dari y″-3y′+2y=f(x) dengan perannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Solusi umum adalah fungsi komplementer ditambah integral khusus; akar pembantu memutuskan bentuknya, dengan kasus khusus untuk akar ganda atau kompleks.
Gunakan ini dalam kursus anda
- edexcel IAL matematika lanjutan; unit resmi FP2. Pengayaan unit lain diidentifikasi dalam tinjauan ruang lingkup; itu bukan persyaratan tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Solusi umum dari persamaan diferensial linear homogen yang terkait. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.