Mendekati Area dengan Jumlah Riemann
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | jumlah Riemann |
| left/left/ | kiri |
| right/raɪt/ | kanan |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | tengah |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | trapesium |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | aturan trapesium |
Perkirakan luas melengkung dengan persegi panjang
- Luas di bawah kurva jarang berupa persegi panjang yang rapi — jadi perkiraan dengan banyak persegi panjang tipis.
- Belah interval menjadi pita-pita, bangun persegi panjang di masing-masing, lalu jumlahkan luasnya.
- Jumlah luas persegi panjang ini disebut jumlah Riemann.
- Semakin banyak, semakin tipis persegi panjang → estimasi yang lebih baik untuk luas sebenarnya.
Area yang kita pendekatan
y = x²
Persegi panjang atau trapesium mengisi area yang diarsir di bawah kurva — semakin banyak, pita lebih tipis, estimasi semakin baik.
Menggunakan lebih banyak, persegi panjang yang lebih tipis umumnya meningkatkan estimasi jumlah Riemann.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pita yang lebih tipis mengikuti kurva dengan lebih baik.
Persegi panjang kiri, kanan, dan tengah
- Tinggi setiap persegi panjang berasal dari fungsi — tapi di mana dalam pita Anda mengukurnya?
- Jumlah kiri: tinggi dari tepi kiri setiap pita.
- Jumlah kanan: tinggi dari tepi kanan.
- Jumlah tengah: tinggi dari tengah — biasanya yang paling akurat dari ketiga metode.
Untuk $f(x)=x^2$ pada $[0,2]$ dengan $2$ persegi panjang kanan (lebar $1$): tinggi $f(1)=1$, $f(2)=4$. Temukan jumlah Riemann kanan.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1\cdot1+4\cdot1=5$.
Pengaturan yang sama, tetapi jumlah Riemann kiri: tinggi $f(0)=0$, $f(1)=1$. Temukan nilainya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
Manakah yang merupakan cara standar untuk memilih tinggi persegi panjang dalam jumlah Riemann?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kiri, kanan, dan titik tengah adalah pilihan standar.
Trapesium pas bahkan lebih baik
- Daripada persegi panjang berkepala datar, hubungkan dua tinggi tepi dengan kepala miring: sebuah trapesium.
- Aturan trapesium merata-ratakan tinggi kiri dan kanan pada setiap pita.
- Ia mengikuti kurva halus lebih dekat daripada persegi panjang, sehingga biasanya lebih akurat.
- Luas setiap trapesium $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
Aturan ____ menggunakan atap miring (rata-rata tinggi tepi) untuk kecocokan yang lebih dekat daripada persegi panjang.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Setiap trapesium meratakan tinggi kiri dan kanan.
Estimasi terlalu tinggi atau terlalu rendah?
- Pada fungsi naik: jumlah kiri meremehkan, jumlah kanan **melebih-lebihkan.
- Pada fungsi menurun: kebalikannya — kiri di atas, kanan di bawah.
- Kesalahan aturan trapesium bergantung pada cekungan (terlalu tinggi pada cekung-keatas, terlalu rendah pada cekung-kebawah).
- Mengetahui arah kesalahan memungkinkan Anda membatasi luas sebenarnya.
Untuk fungsi yang naik, jumlah Riemann kiri memberikan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tinggi kiri adalah tepi yang lebih kecil pada kurva yang naik → estimasi kurang.
Tiga aturan persegi panjang dapat memberikan jawaban yang cukup berbeda untuk jumlah strip kecil — mereka adalah pendekatan, bukan luas eksak. Dan apakah penjumlahan kiri atau kanan memperkirakan terlalu tinggi atau terlalu rendah bergantung pada apakah fungsinya naik atau turun, bukan hanya pada aturannya saja. Selalu periksa perilaku fungsi.
Perkirakan luas di bawah $f(x)=x^2$ pada $[0,2]$ dengan $2$ persegi panjang kanan (lebar $1$).
- Tinggi kanan: $f(1)=1$ dan $f(2)=4$.
- Jumlah kanan $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (Luas sebenarnya adalah $\tfrac83\approx2.67$; karena $x^2$ naik, jumlah kanan memperkirakan terlalu tinggi — seperti yang diharapkan.)
Sebuah jumlah Riemann mendekati luas dengan persegi panjang: tinggi kiri, kanan, atau tengah. Aturan trapesium menggunakan atap miring (rata-rata tinggi tepi) untuk kecocokan yang lebih dekat. Untuk fungsi naik, jumlah kiri memperkirakan terlalu rendah dan jumlah kanan memperkirakan terlalu tinggi; semakin banyak strip → pendekatan yang lebih baik.