Mengaproksimasi Nilai Menggunakan Linearitas Lokal dan Linearisasi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | garis singgung |
| local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/ | Kelinearan Lokal |
| linearization/ˌlɪnɪəraɪˈzeɪʃn/ | Linearisasi |
Perbesar cukup dekat dan kurva terlihat lurus
- Pilih kurva halus sembarang, perbesar pada satu titik, dan kurva itu mendatar menjadi (hampir) garis lurus.
- Garis itu adalah garis singgung, dan di dekat titik itu ia menempel erat pada kurva.
- Jadi garis singgung adalah pendekatan yang sangat baik bagi fungsi di sekitarnya — ini disebut linearitas lokal.
- Ini memungkinkan Anda mengestimasi nilai fungsi yang sulit hanya dengan kemiringan dan satu titik.
Garis singgung menempel pada kurva
y = √x
Di dekat titik singgung garis dan kurva hampir berimpit — kedekatan itulah sebabnya $L(x)$ mengaproksimasi $f(x)$.
Ide bahwa kurva halus terlihat lurus jika diperbesar disebut linearitas lokal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Linearitas lokal mendasari aproksimasi garis singgung.
Bangun garis singgung
- Garis singgung pada $x=a$ melewati $\big(a,f(a)\big)$ dengan kemiringan $f'(a)$.
- Bentuk titik-kemiringan memberikan linearisasi:
-
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$
- $L(x)$ ini hanyalah garis singgung, dinamai ulang sebagai rumus pendekatan.
Linearisasi dari $f$ pada $a$ adalah $L(x)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Titik-kemiringan dari garis singgung: $f(a)+f'(a)(x-a)$.
Dekatkan nilai terdekat
- Untuk mengestimasi $f(x)$ untuk $x$ di dekat $a$, hitung $L(x)$ saja — biasanya aritmatika mudah.
- Pilih $a$ agar menjadi titik dekat di mana $f(a)$ dan $f'(a)$ sederhana (angka "bagus").
- Semakin dekat $x$ ke $a$, semakin baik pendekatannya.
- Contoh: untuk mengestimasi $\sqrt{4.1}$, gunakan $f(x)=\sqrt x$ pada $a=4$, di mana $f(4)=2$ bersih.
Menggunakan $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, estimasi $\sqrt{4.1}=L(4.1)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
Over- atau underestimate? Tanya kelengkungan
- Garis singgung berada di satu sisi grafik melengkung, jadi $L(x)$ condong ke satu arah.
- Cembung ke atas (kurva membengkok ke atas, $f''>0$): garis singgung ada di bawah kurva → $L$ adalah underestimate (perkiraan terlalu rendah).
- Cekung ke bawah ($f''<0$): garis singgung berada di atas kurva → $L$ adalah estimasi berlebih.
- Memeriksa tanda $f''$ memberi tahu Anda ke arah mana pendekatan Anda meleset.
Jika $f$ cekung ke bawah di sekitar $a$, estimasi garis singgung $L(x)$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cekung ke bawah → garis singgung di atas kurva → estimasi terlalu tinggi.
Linearisasi paling akurat untuk input jauh dari titik singgung.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Paling akurat di sekitar titik; akurasi menurun saat menjauh.
Pilih semua kesimpulan over/under yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Naik → garis singgung di bawah → kurang; turun → garis singgung di atas → lebih; keduanya ditentukan oleh $f''$.
Linearisasi hanya akurat di dekat titik singgung — jauh dari $a$ garis lurus menjauh dari kurva. Dan penilaian over/under bergantung pada kelengkungan: cembung ke atas → garis singgung di bawah → underestimate; cembung ke bawah → overestimate. Jangan menebak arahnya; periksa tanda $f''$.
Estimasi $\sqrt{4.1}$ menggunakan linearisasi pada $a=4$.
- $f(x)=\sqrt x=x^{1/2}$, sehingga $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt x}$; $\;f(4)=2$, $\;f'(4)=\tfrac14$.
- $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, sehingga $L(4.1)=2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
- Karena $\sqrt x$ cembung ke bawah ($f''<0$), ini adalah sedikit overestimate (nilai sebenarnya $\approx2.0248$).
Linearitas lokal memungkinkan garis singgung mendekati fungsi di dekat suatu titik. Linearisasi adalah $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$; gunakan untuk mengestimasi $f(x)$ untuk $x$ di dekat $a$. Kelengkungan menentukan arah kesalahan: cembung ke atas → underestimate, cembung ke bawah → overestimate.