Pengenalan Laju Terkait
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | Laju Berkaitan |
| time/taɪm/ | Waktu |
Ketika satu laju mendorong laju lainnya
- Tiup balon: jari-jarinya membesar, dan karena hal itu, volumenya juga membesar.
- Kedua laju saling terkait — mengetahui seberapa cepat jari-jari berubah memberi tahu Anda seberapa cepat volume berubah.
- Masalah seperti ini adalah laju terkait: beberapa kuantitas yang berubah bersama-sama seiring waktu.
- Mesin yang menghubungkannya adalah aturan rantai, diterapkan terhadap waktu.
Masalah laju terkait menghubungkan laju dari kuantitas-kuantitas yang berubah terhadap...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Variabel-variabelnya adalah fungsi waktu, terhubung melalui aturan rantai.
Mulailah dengan persamaan yang menghubungkan variabel
- Pertama, temukan persamaan yang mengikat kuantitas bersama — biasanya geometri atau rumus.
- Balon: $V=\tfrac43\pi r^3$ menghubungkan volume dan jari-jari.
- Tangga meluncur turun dinding: $x^2+y^2=L^2$ (Pythagoras) menghubungkan kedua jarak.
- Persamaan penghubung ini benar pada setiap saat, sehingga kita dapat menurunkannya terhadap waktu.
Volume bertambah seiring jari-jari
y = a·x³ (V vs r)
$V=\tfrac43\pi r^3$ naik curam — laju jari-jari kecil menghasilkan laju volume besar saat $r$ besar.
Langkah pertama adalah menulis sebuah ____ yang menghubungkan variabel yang berubah.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Biasanya hubungan geometris atau fisik.
Tangga sepanjang $L$ bersandar pada dinding. Persamaan mana yang menghubungkan jarak dasar $x$ dan ketinggian $y$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pythagoras: dinding dan lantai membentuk sudut siku-siku, sehingga $x^2+y^2=L^2$.
Turunkan terhadap waktu
- Setiap variabel secara rahasia bergantung pada $t$, sehingga menurunkan menghasilkan laju untuk masing-masing — melalui aturan rantai.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ menghasilkan $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Setiap suku menyumbang faktor "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" — persis seperti diferensiasi implisit, tetapi variabel tersembunyanya adalah $t$.
- Sekarang persamaan menghubungkan laju $\tfrac{dV}{dt}$ dan $\tfrac{dr}{dt}$.
Mendiferensiasikan $V=\tfrac43\pi r^3$ terhadap $t$ menghasilkan $\dfrac{dV}{dt}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan rantai dalam waktu: $4\pi r^2$ kali $\tfrac{dr}{dt}$.
Urutkan data yang diketahui dari yang belum diketahui
- Baca masalah dan beri label: laju mana yang diketahui, dan laju tunggal mana yang dibutuhkan?
- "Jari-jari membesar pada $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ diketahui.
- "Seberapa cepat volume membesar?" → $\tfrac{dV}{dt}$ adalah yang belum diketahui.
- Juga catat kuantitas tetap (seperti jari-jari pada saat yang ditanyakan).
Mendiferensiasikan $r^3$ terhadap waktu menghasilkan hanya $3r^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hasilnya $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — faktor laju diperlukan.
"Jari-jari bertambah pada $2$ cm/s; berapa cepat volume bertambah?" Pilih semua label yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Laju jari-jari diberikan, laju volume diinginkan, dan $V=\tfrac43\pi r^3$ menghubungkannya.
Variabel laju terkait adalah fungsi waktu, sehingga menurunkan $r^3$ menghasilkan $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — tidak pernah hanya $3r^2$. Melupakan $\tfrac{dr}{dt}$ (faktor laju aturan rantai) adalah kesalahan utama. Setiap kuantitas yang berubah menyumbangkan $\tfrac{d(\ )}{dt}$-nya sendiri.
Volume balon adalah $V=\tfrac43\pi r^3$. Susun persamaan laju terkait.
- Turunkan terhadap $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Ini menghubungkan laju pertumbuhan volume dengan laju pertumbuhan jari-jari.
- Diberikan $\tfrac{dr}{dt}$ dan $r$ saat ini, kita sekarang bisa menyelesaikan $\tfrac{dV}{dt}$ (pelajaran berikutnya).
Soal laju berubah menghubungkan laju dua atau lebih kuantitas yang berubah terhadap waktu. Tulis persamaan yang menghubungkan variabelnya (sering geometri), turunkan persamaan tersebut terhadap $t$ menggunakan aturan rantai (setiap variabel mendapatkan faktor $\tfrac{d(\ )}{dt}$), dan identifikasi mana laju yang diberikan dan mana yang dicari.