Menentukan Limit Menggunakan Sifat Aljabar Limit
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| limit laws/ˈlɪmɪt lɔːz/ | aturan limit |
| direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substitusi langsung |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomial |
| rational/ˈræʃənl/ | rasional |
| indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/ | bentuk tak tentu |
Limit mematuhi aljabar yang ramah
- Setelah Anda mengetahui limit dua fungsi, Anda dapat menggabungkannya seperti angka biasa.
- Apa pun yang $f$ dan $g$ tuju, jumlah keduanya akan menuju ke jumlah target tersebut.
- Hal yang sama berlaku untuk selisih, hasil kali, dan (hati-hati) hasil bagi.
- Ini adalah hukum limit — memungkinkan Anda memecah limit yang rumit menjadi bagian-bagian sederhana.
Hukum limit, dalam satu tempat
- Misalkan $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ dan $\displaystyle\lim_{x\to c} g(x)=M$. Maka:
- Jumlah / Selisih: $\lim (f\pm g) = L\pm M$.
- Hasil Kali: $\lim (f\cdot g) = L\cdot M$; Konstanta perkalian: $\lim (k f)=kL$.
- Hasil Bagi: $\displaystyle\lim \frac{f}{g}=\frac{L}{M}$, selama $M\neq 0$.
Diberikan $\lim f = 6$ dan $\lim g = 3$, temukan $\lim \dfrac{f}{g}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hukum hasil bagi (limit penyebut $3\neq0$): $\frac{6}{3}=2$.
Aturan hasil bagi $\lim\frac fg=\frac LM$ mensyaratkan bahwa $M$, limit penyebutnya, tidak ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jika $M=0$, aturan ini tidak berlaku langsung — Anda mungkin menghadapi bentuk tak tentu.
Substitusi langsung: jalur cepat
- Untuk fungsi polinomial atau rasional, hukum-hukum ini merangkum satu jalan pintas: cukup masukkan $c$.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}(x^2-2x+1) = 3^2-2(3)+1 = 4$ — tanpa tabel, tanpa grafik.
- Substitusi langsung berfungsi selama fungsi terdefinisi dan kontinu di $c$.
- Ini selalu hal pertama yang dicoba — paling cepat jika berhasil.
Polinomial tidak memiliki kejutan
y = ax² + bx + c
Polinomial halus di mana-mana — geser koefisien dan lihat mengapa memasukkan $c$ (substitusi langsung) sekadar membaca ketinggian.
Evaluasi $\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x^2 - x + 4)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Substitusi langsung: $3(4)-2+4 = 14$.
Untuk batas mana substitusi langsung memberikan jawaban segera?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Yang ketiga menghasilkan $\tfrac00$ (limit penyebut $0$) sehingga substitusi terhenti; yang lain memberikan nilai terbatas secara langsung.
Ketika substitusi macet
- Masukkan dan Anda mungkin menemui $\dfrac{0}{0}$: sebuah bentuk tak tentu.
- Tak tentu bukan berarti limit gagal — ini berarti substitusi saja tidak bisa memutuskan, dan diperlukan lebih banyak usaha (pelajaran berikutnya).
- Waspadai syarat kecil hukum hasil bagi: ia memerlukan $M\neq0$. Jika limit penyebut adalah $0$, hukum itu tidak berlaku langsung.
- Jadi: coba substitusi dulu; jika menghasilkan bilangan riil, Anda selesai; jika menghasilkan $\tfrac00$, ganti strategi.
Substitusi langsung menghasilkan $\tfrac00$. Ini berarti...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac00$ bersifat tak tentu: merupakan indikasi untuk melakukan aljabar, bukan jawaban akhir.
Ketika Anda bertemu dengan batas baru, substitusi langsung adalah hal pertama yang masuk akal untuk dicoba.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini paling cepat jika berhasil; hanya beralih strategi jika menghasilkan bentuk tak tentu.
$\dfrac{0}{0}$ adalah tak tentu, bukan "nol" dan bukan "tidak terdefinisi-DNE." Ini adalah sinyal bahwa limit sedang bersembunyi dan Anda harus menyederhanakan terlebih dahulu. Jangan laporkan $\tfrac00$ sebagai jawaban, dan jangan simpulkan limit tidak ada — $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$ adalah $\tfrac00$ saat substitusi namun sama dengan $4$.
Temukan $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4}$.
- Limit pembilang: $2(1)^2+3 = 5$. Limit penyebut: $1+4 = 5$.
- Limit penyebut adalah $5\neq 0$, sehingga hukum hasil bagi berlaku.
- $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4} = \dfrac{5}{5} = 1$ oleh substitusi langsung.
Hukum limit memungkinkan Anda membagi limit melintasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (pembagian memerlukan limit penyebut bukan nol). Untuk polinomial dan rasional ini menyederhanakan diri menjadi substitusi langsung — selalu cobanya terlebih dahulu. Hasil $\tfrac00$ adalah bentuk tak tentu: bukan jawaban, tetapi isyarat untuk menyederhanakan.