Menemukan Antiturunan dan Integral Tak Tentu: Aturan Dasar dan Notasi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | Integral tak tentu |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | Konstanta integrasi |
Menjalankan diferensiasi mundur
- FTC Bagian 2 membutuhkan primitif — jadi mari kita belajar untuk menemukannya.
- Antiturunan dari $f$ adalah setiap fungsi yang turunannya adalah $f$; seluruh keluarga ini disebut integral tak tentu.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (tanpa batas) berarti "primitif umum dari $f$.""
- Setiap aturan turunan, jika dibaca mundur, menjadi aturan primitif.
Aturan pangkat untuk integrasi
- Balik Aturan Pangkat: tambahkan satu pada eksponen, lalu bagi dengan eksponen baru.
-
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- Periksa: menurunkan $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ menghasilkan $x^n$. ✓
- (Kasus $n=-1$ bersifat khusus: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
Berapakah $\displaystyle\int x^3\,dx$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tambahkan satu pada eksponen, bagi dengannya: $\tfrac{x^4}{4}+C$.
Aturan pangkat gagal untuk $n=-1$. Apa $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$.
Jangan pernah lupa $+C$
- Karena turunan dari konstanta adalah $0$, konstanta apa pun dapat ditambahkan — sehingga primitifnya merupakan sebuah keluarga.
- Selalu tambahkan konstanta integrasi $+C$ ke dalam integral tak tentu.
- Tanpa batas, tidak ada cara untuk menentukan konstanta mana, jadi $+C$ tetap ada.
- (Dalam integral tentu, $+C$ akan saling menghilangkan — itulah perbedaannya.)
Keluarga yang digeser oleh +C
y = ax³ + d
Semua antiturunan dari $f$ hanya berbeda oleh pergeseran vertikal $+C$ — kemiringan sama di mana-mana.
Integral tak tentu harus mencakup konstanta integrasi $+C$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Antiturunan adalah keluarga; $+C$ adalah bagian dari jawaban.
Primitif standar
- Balik turunan dasar yang Anda ketahui:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- Gabungkan dengan linearitas untuk mengintegrasikan polinomial atau jumlah suku demi suku.
Berapakah $\displaystyle\int \sin x\,dx$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (perhatikan tanda minus).
Temukan $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan pangkat terbalik per suku, plus $C$.
Pilih semua antiturunan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (positif); yang terakhir salah.
Dua hal utama: selalu tambahkan $+C$ ke integral tak tentu (ini bagian dari jawaban), dan aturan pangkat gagal untuk $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ adalah $\ln|x|+C$, bukan $\frac{x^0}{0}$. Juga perhatikan tanda pada $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (minus, mencerminkan turunan $\cos$).
Temukan $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- Suku demi suku (aturan pangkat terbalik): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- Periksa dengan menurunkan: $6x^2-4x+5$. ✓
Sebuah integral tak tentu $\int f\,dx$ adalah primitif umum dari $f$. Aturan pangkat untuk integrasi: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ untuk $n\neq-1$ (dan $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). Selalu tambahkan konstanta integrasi $+C$, dan integralkan jumlah suku demi suku.