Mendefinisikan Laju Perubahan Rata-rata dan Sesaat pada Sebuah Titik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | laju perubahan rata-rata |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | laju perubahan instan |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | Kuotien beda |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | garis sekant |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | garis singgung |
Dari "sepanjang interval" menjadi "pada saat tertentu"
- Unit 1 membangun konsep limit. Sekarang kita menggunakannya untuk mengukur perubahan.
- Sepanjang interval, laju perubahan rata-rata adalah total perubahan ÷ lebar interval.
- Pada satu saat tertentu, laju perubahan sesaat adalah apa yang ditunjukkan speedometer.
- Jembatan di antara keduanya adalah limit — dan jembatan itulah inti utama Unit 2.
Laju rata-rata = kemiringan garis secan
- Laju perubahan rata-rata dari $f$ dari $x=a$ ke $x=b$ adalah kuosien perbedaan:
-
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- Secara geometris ini adalah kemiringan dari garis secan yang menghubungkan $\big(a,f(a)\big)$ dan $\big(b,f(b)\big)$.
- Ini adalah rata-rata: ia meratakan semua yang terjadi antara $a$ dan $b$.
Temukan laju perubahan rata-rata dari $f(x)=x^2$ pada $[1,3]$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
Laju perubahan rata-rata selama sebuah interval sama dengan kemiringan dari...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Laju rata-rata = kenaikan dibagi jarak antara dua ujung = kemiringan garis seka.
Perkecil interval
- Untuk mendapatkan laju di $x=a$, geser $b$ menuju $a$ dan perhatikan kemiringan secan.
- Saat interval mengecil, secan berputar menuju garis singgung di $a$.
- Kemiringan batas adalah laju perubahan sesaat di $a$.
- Tidak ada waktu yang benar-benar berlalu pada suatu saat tertentu — limitlah yang membuat "laju di sebuah titik" bermakna.
Gesir garis seka menjadi garis singgung
y = x²
Gerakkan titik sepanjang $y=x^2$ — kemiringan garis singgung yang Anda baca adalah laju sesaat, yaitu limit dari kemiringan garis seka.
Laju perubahan sesaat pada sebuah titik sama dengan kemiringan garis ____ di sana.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini adalah limit dari kemiringan garis seka saat interval menyusut — kemiringan garis singgung.
Membaca laju dalam konteks
- Tanda menunjukkan arah: laju positif → meningkat, negatif → menurun.
- Ukuran menunjukkan kecepatan: magnitudo yang lebih besar berarti perubahan lebih cepat.
- Satuan penting: untuk posisi dalam meter selama waktu dalam detik, lajunya adalah dalam $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — sebuah kecepatan.
- Jadi laju rata-rata = kemiringan secan (sepanjang interval); laju sesaat = kemiringan singgung (pada titik).
Jika laju perubahan rata-rata dari $f$ pada $[0,4]$ adalah $0$, maka $f$ harus konstan pada $[0,4]$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini hanya berarti $f(0)=f(4)$; $f$ bisa naik lalu turun (mis. pergi dan kembali).
Untuk $f(x)=x^2$, laju rata-rata pada $[3,3.1]$ dan $[3,3.01]$ adalah $6.1$ dan $6.01$. Perkirakan laju sesaat di $x=3$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Rata-rata mendekati $6$.
Fungsi posisi memiliki laju instan $-5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ pada waktu $t$. Pilih semua pernyataan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Laju negatif = bergerak ke arah negatif (sehingga posisi berkurang); besarannya adalah kecepatan; dan ini adalah kemiringan tangen.
Laju rata-rata dan sesaat tidak dapat saling menggantikan. Laju rata-rata sepanjang $[a,b]$ bisa nol sementara laju sesaat besar di setiap titik interior (bayangkan pergi keluar dan kembali). Hanya dalam batas interval yang mengecil laju rata-rata menjadi laju sesaat.
Untuk $f(x)=x^2$, temukan laju rata-rata pada $[2,4]$ dan perkirakan laju sesaat di $x=2$.
- Rata-rata pada $[2,4]$: $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.
- Perkecil menuju $2$: pada $[2,2.1]$, $\dfrac{4.41-4}{0.1}=4.1$; pada $[2,2.01]$, $4.01$.
- Laju rata-rata mendekat pada $4$ — laju sesaat di $x=2$ adalah $4$.
Laju perubahan rata-rata sepanjang $[a,b]$ adalah kuosien selisih $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — kemiringan dari garis secan. Memperkecil interval, secan mendekati garis singgung, yang kemiringannya adalah laju perubahan sesaat di titik tersebut.