Permutasi dan kombinasi
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ | permutasi |
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | kombinasi |
| factorial/fækˈtɔːrɪəl/ | faktorial |
| multiplication principle/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃn ˈprɪnsɪpl/ | prinsip perkalian |
Berapa banyak cara mengatur rak buku?
- Anda memiliki 10 buku dan ingin memilih 3 untuk dipamerkan. Ada berapa banyak cara? Jika urutan penting, itu adalah permutasi. Jika Anda hanya ingin memilih sembarang 3, itu adalah kombinasi.
- Teknik penghitungan adalah fondasi probabilitas — dan muncul di mana-mana, dari peluang lotre hingga keamanan kata sandi.
Laboratorium permutasi atau kombinasi
Pilih apakah urutan penting dalam masalah penghitungan.
Permutasi (urutan penting)
- Permutasi adalah susunan di mana urutan penting: ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$.
- Contoh: menyusun 3 buku dari 10: ${}^{10}P_3 = \dfrac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
Contoh terpecahkan. Berapa banyak kode 3 huruf yang dapat dibuat dari 26 huruf (tanpa pengulangan)? ${}^{26}P_3 = 26 \times 25 \times 24 = 15\,600$.
Permutasi: 3 buku tersusun dalam 3 × 2 × 1 = 6 urutan berbeda
Dalam sebuah kombinasi, urutan item yang dipilih:
Kombinasi mengabaikan urutan; permutasi menghitung urutan.
Berapa banyak cara menyusun 3 buku dari 10 di rak (¹⁰P₃)?
¹⁰P₃ = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 × 9 × 8 = 720.
Kombinasi (urutan tidak penting)
- Kombinasi adalah pemilihan di mana urutan tidak penting: ${}^nC_r = \dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.
- Contoh: memilih 3 buku dari 10: ${}^{10}C_3 = \dfrac{10!}{3!\,7!} = \dfrac{720}{6} = 120$.
Permutasi vs kombinasi. Memilih komite berisi 3 orang dari 10 orang adalah kombinasi (urutan tidak penting). Memilih presiden, wakil presiden, dan sekretaris dari 10 orang adalah permutasi (urutan penting — peranannya berbeda).
Urutan penting untuk permutasi, tetapi tidak untuk kombinasi
Berapa banyak cara memilih 2 dari 5 (⁵C₂)?
⁵C₂ = 5!/(2!3!) = 120/(2×6) = 10.
⁵P₃ lebih besar daripada ⁵C₃.
⁵P₃ = 60 (urutan penting), ⁵C₃ = 10 (urutan tidak penting). Permutasi selalu ≥ kombinasi.
Susunan dengan pengulangan
- Untuk menyusun kata dengan huruf yang berulang, bagi dengan faktorial dari setiap jumlah pengulangan.
- Contoh: NEEDLESS memiliki 8 huruf dengan 3 E dan 2 S: susunan $= \dfrac{8!}{3!\,2!} = \dfrac{40320}{12} = 3360$.
Berapa banyak susunan huruf NEEDLESS? (8 huruf: E×3, S×2 → 8!/(3!2!))
8!/(3!2!) = 40320/(6×2) = 40320/12 = 3360.
Prinsip perkalian
- Jika satu pilihan dapat dibuat dalam $m$ cara dan pilihan lain dalam $n$ cara, keduanya bersama-sama dapat dibuat dalam $m \times n$ cara.
- Contoh: 3 kemeja dan 4 celana → $3 \times 4 = 12$ setelan.
Anda memiliki 3 kemeja dan 4 celana. Berapa banyak setelan yang bisa dibuat?
3 × 4 = 12 setelan (prinsip perkalian).
Anda telah memahaminya
- permutasi (urutan penting): ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
- kombinasi (urutan tidak): ${}^nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
- huruf berulang: bagi $n!$ dengan faktorial setiap pengulangan (NEEDLESS → $\dfrac{8!}{3!\,2!}$)