Logaritma, trigonometri, dan metode numerik (Murni 3)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritma |
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | persamaan eksponensial |
| decay/dɪˈkeɪ/ | peluruhan |
| linearise/ˈlɪnɪəraɪz/ | linearisasi |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | konvergensi |
Membangun dari apa yang Anda ketahui
- Pure 3 tidak memperkenalkan ide sepenuhnya baru — ia memperdalam dan memperluas keterampilan dari Pure 2.
- Logaritma, trigonometri, dan metode numerik kembali dengan masalah yang lebih sulit dan aplikasi yang lebih kaya.
Logaritma ditinjau kembali
- Hukum log dengan $e^x$ dan $\ln x$ kembali dalam konteks yang lebih sulit: menyelesaikan persamaan eksponensial, memodelkan pertumbuhan dan peluruhan, serta melinierkan data.
- Keterampilan kunci: ketika variabel tak diketahui berada di pangkat, ambil log dari kedua sisi.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $5e^{2x} = 30$. Bagi: $e^{2x} = 6$. Ambil $\ln$: $2x = \ln 6$, sehingga $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$.
Garis r = a + t b: mulai dari a, lalu geser sebanyak t kali arah b
Berapakah ln(e³)?
ln dan e adalah invers, sehingga ln(e³) = 3.
Selesaikan 5e^(2x) = 30 untuk x (2 desimal).
e^(2x) = 6, sehingga 2x = ln 6, x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90.
Trigonometri ditinjau kembali
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- Rumus sudut rangkap dan kembar, serta bentuk $R$ dari $a\sin\theta + b\cos\theta$.
- Identitas-identitas ini penting untuk integrasi dan penyelesaian persamaan trigonometri.
Jangan campurkan identitasnya. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (tanda plus), bukan $1 - \tan^2\theta$. Tanda berasal dari pembagian $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ oleh $\cos^2\theta$.
Lingkaran satuan
(cos θ, sin θ)
Rumus-R menulis ulang a sin θ + b cos θ sebagai satu gelombang — dan semuanya hidup di lingkaran ini.
Menggunakan sec²θ ≡ 1 + tan²θ, jika tan θ = 3, berapakah sec²θ?
sec²θ = 1 + 3² = 1 + 9 = 10.
sec²θ ≡ 1 − tan²θ.
Identitas yang benar adalah sec²θ ≡ 1 + tan²θ (ditambah, bukan dikurang).
Metode numerik ditinjau kembali
- Perubahan tanda untuk menjebak akar, kemudian rumus iteratif $x_{n+1} = F(x_n)$.
- Konvergensi memerlukan $|F'(x)| < 1$ dekat dengan akar.
allow_no_figure: Pelajaran tinjauan yang menyatukan keterampilan Pure 2 (logaritma, trigonometri, metode numerik) — tidak ada konsep visual baru yang diperkenalkan.
Akar numerik ditemukan melalui perubahan tanda, lalu diterapkan berulang kali:
Iterasi menerapkan x_{n+1} = F(x_n) hingga nilai-nilainya konvergen ke akar.
Contoh terpecahkan — penerapan rumus R
- Nyatakan $3\sin\theta + 4\cos\theta$ dalam bentuk $R\sin(\theta + \alpha)$.
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- Maka $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$.
- Nilai maksimum ialah $5$ (apabila $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$).
- Memplotkan $\ln y$ berbanding $x$ menghasilkan garis yang kecerunan dan titik potongnya boleh digunakan untuk mencari pemalar (menggunakan indeks dan fungsi songsang); kenali fungsi trigonometri songsangan secan, kosecan, kotangen; dan pemulangan $x_{n+1}=F(x_n)$ menunjukkan penumpuan kepada satu punca.
Untuk 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), berapa nilai R?
R = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Anda telah memahaminya
- 3.2 logaritma, 3.3 identiti/trigon sudut, 3.6 kaedah numerik = kemahiran Pure 2
- gunakan $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ dan rumus R seperti sebelumnya
- cari punca dengan perubahan tanda kemudian pemulangan $x_{n+1} = F(x_n)$