AI: catatan pengajaran kursus
Versi: Penilaian Pertama 2021
Ini adalah catatan pengajaran asli, dan setiap pelajaran diberi label sesuai tingkatan.
1 · Aritmatika eksak dan estimasi
Bisakah kita mengemas tanpa sisa?
- Seorang pemasok mengemas 72 pensil dan 90 pulpen ke dalam tas hadiah yang identik. Bagaimana cara menghindari sisa-sisa?
- Pelajaran ini mempelajari faktor prima: bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
Metode tersebut
- Faktor prima mengungkap struktur bersama.
- Gunakan pangkat faktor prima terkecil yang sama untuk FPB dan terbesar untuk KPK.
- Perkirakan sebelum menghitung; gunakan tanda kurung untuk mempertahankan urutan operasi.
Contoh terarah
72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pulpen masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360.
Di mana letak kesalahannya
- FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
- Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda.
- Estimasi desimal bukan pecahan eksak.
Tidak benar: FPB dari dua bilangan bulat positif lebih besar dari salah satu bilangan tersebut. FPB membagi kedua bilangan, sehingga tidak pernah bisa lebih besar dari yang terkecil: FPB dari 72 dan 90 adalah 18.
Menerapkannya
- Untuk soal tanpa kalkulator, pertahankan pecahan eksak dan tunjukkan penyederhanaan.
- Untuk soal dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Faktor prima: Bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
- Faktor prima mengungkap struktur bersama.
- Perhatikan: FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
1 · Persentase, rasio dan penalaran proporsional
Bisakah kita memulihkan harga asli?
- Sebuah mantel dipotong harganya sebesar 20% menjadi ¥240. Diskon berlaku pada harga asli, bukan pada harga jual.
- Pelajaran ini mempelajari pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
Metode tersebut
- Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
- Balik persentase dengan membagi pengalinya.
- Dalam rasio, temukan terlebih dahulu jumlah total bagian.
Contoh terarah
Misalkan harga asli adalah P. Modelnya adalah harga jual=0.8P. Oleh karena itu P=240/0.8=300. Peningkatan 20% kemudian menghasilkan 240×1.2=288, sehingga kedua perubahan tersebut saling meniadakan.
Di mana letak kesalahannya
- Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
- Mengurangkan persentase kehilangan basis tersebut.
- Untuk perubahan majemuk, kalikan pengalinya; jangan tambahkan persentasenya.
Tidak benar: Penurunan 20% diikuti kenaikan 20% tidak mengembalikan harga awal. Kenaikan 20% diambil dari jumlah yang lebih kecil: 100×0.8×1.2=96, bukan 100.
Menerapkannya
- Untuk proporsional langsung gunakan y=kx; untuk proporsional terbalik gunakan y=k/x.
- Hitung k dari pasangan yang diketahui sebelum menggunakan nilai baru.
- Nyatakan apa yang Anda tetapkan tetap konstan.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
- Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
- Perhatikan: Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
1 · Barisan, deret dan rekurensi
Apakah perubahan bersifat penjumlahan atau perkalian?
- Rencana tabungan menambah ¥30 lebih banyak setiap minggu; model populasi tumbuh sebesar 5% setiap tahun. Selisih yang sama dan rasio yang sama memerlukan model yang berbeda.
- Pelajaran ini mempelajari rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut dalam barisan geometri.
Metode tersebut
- Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
- Untuk barisan geometri, u_n=ar^(n-1) dan S_n=a(1-r^n)/(1-r).
- Jumlah tak hingga barisan geometri hanya ada jika |r|<1.
Contoh terarah
Untuk a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 dan S_8=8(10+21)/2=124. Untuk a=12,r=1/2, jumlah tak hingga S=12/(1-1/2)=24. Untuk u_(n+1)=2u_n+1 dengan u_1=1, suku berikutnya adalah 3,7,15.
Di mana letak kesalahannya
- Suku pertama berindeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
- Barisan adalah daftar; deret adalah jumlah.
- Barisan geometri dapat bergantian tanda dan tetap konvergen.
Tidak benar: Setiap deret geometri memiliki jumlah tak hingga yang terbatas. Jumlah tak hingga hanya ada ketika −1<r<1; untuk r=2 suku-sukunya membesar tanpa batas.
Menerapkannya
- Jelaskan apakah konteks membenarkan perubahan aditif atau perkalian.
- Dalam keuangan, bedakan setoran tunggal dari serangkaian setoran sebelum memilih rumus jumlah.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut pada barisan geometri.
- Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
- Perhatikan: suku pertama memiliki indeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
1 · Model urutan deposit berulang dan penjadwalan
Garis waktu mana yang dijelaskan oleh jumlah tersebut?
- Dua pembayaran yang sama dapat menghasilkan jumlah bunga yang berbeda jika salah satu dibayar lebih awal.
- Pelajaran ini mempelajari deposit: Jumlah yang ditambahkan ke akun pada waktu tertentu.
Metode tersebut
- Tentukan saldo segera setelah peristiwa yang disebutkan dan berikan saldo awal.
- Dengan faktor pertumbuhan r dan setoran akhir periode d, B₀=0 dan B_n=rB_(n−1)+d.
- Saldo ke-n adalah d(1+r+…+r^(n−1))=d(r^n−1)/(r−1) untuk r≠1.
- Untuk r=1, gunakan B_n=nd.
- Jumlah periode n adalah bilangan bulat nonnegatif.
Contoh terarah
Gunakan tingkat pertumbuhan ilustratif 5% per periode dan setoran 100 unit pada setiap akhir periode. B₁=100, B₂=1.05×100+100=205 dan B₃=1.05×205+100=315.25. Setoran pertama mendapat bunga selama n−1 periode, sementara yang terakhir tidak mendapat bunga saat B_n diukur. Demikianlah B_n=100(1.05^n−1)/0.05. Untuk target setidaknya 500, B₄=431.0125<500 dan B₅=552.563125≥500, jadi 5 periode cukup pertama kali. Saldo melebihi lima setoran yang berjumlah 500 sebanyak 52.563125 unit. Jika setoran yang sama dilakukan pada setiap awal periode dan saldo diukur pada akhir periode, C_n=1.05(B_n); oleh karena itu C₃=331.0125, bukan 315.25.
Di mana letak kesalahannya
- Jangan berikan periode bunga tambahan pada setoran akhir periode terakhir.
- Saldo mencakup baik setoran maupun pertumbuhan; itu bukan hanya bunganya saja.
- Target pasti dan target minimal memerlukan pemeriksaan bilangan bulat yang berbeda.
- Suku tahunan yang dikutip tidak dapat langsung digunakan sebagai faktor per-bulan tanpa konversi yang sesuai.
Tidak benar: Setoran awal dan akhir periode memberikan saldo akhir yang sama. Setoran di awal periode mendapatkan satu periode bunga tambahan, sehingga saldo akhirnya lebih besar.
Menerapkannya
- Ilustrasi ini mengasumsikan suku per periode tetap, setoran yang sama, tanpa biaya atau penarikan, serta waktu pelipatan bunga/pembayaran yang disebutkan.
- Jika hal-hal ini berubah, perhalus rekurensi: B_n=(1+i_n)B_(n−1)+d_n−w_n untuk setoran/penarikan akhir periode.
- Simpan buku catatan terpisah dari pembayaran untuk mengidentifikasi pertumbuhan.
- Bandingkan saldo periode bersebelahan sebelum mengklaim persilangan target pertama; di sini semua saldo nonnegatif dan B_n−B_(n−1)=0.05B_(n−1)+100>0.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Setoran: Jumlah uang yang ditambahkan ke akun pada waktu tertentu.
- Tentukan saldo segera setelah peristiwa yang disebutkan dan berikan saldo awal.
- Perhatikan: jangan berikan deposit akhir periode tambahan satu periode bunga.
2 · Domain, invers dan komposisi
Input mana yang diizinkan?
- Model akar kuadrat menghasilkan output real hanya untuk beberapa input. Rumusnya saja tidak menentukan fungsi lengkap.
- Pelajaran ini mempelajari domain: Himpunan input yang diizinkan untuk suatu fungsi.
Metode tersebut
- Nyatakan domain dan rentang.
- Untuk invers, pastikan fungsi tersebut satu-satu pada domainnya terlebih dahulu.
- Komposisi fg berarti terapkan g terlebih dahulu, lalu f; output perantara harus menjadi input yang diperbolehkan untuk f.
Contoh terarah
Untuk f(x)=√(x-2), x≥2 dan jangkauannya adalah y≥0. Dari y=√(x-2), diperoleh x=y²+2. Dengan demikian f invers(x)=x²+2 dengan x≥0. Untuk g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Di mana letak kesalahannya
- Memangkatkan dua dapat memasukkan solusi ekstraneous (luar).
- Membatasi domain parabola sangat penting sebelum mengklaim adanya fungsi invers.
- Translasi horizontal di dalam f memiliki tanda berlawanan dengan pergerakan grafiknya.
Tidak benar: Setiap fungsi kuadrat pada seluruh bilangan real memiliki fungsi invers. Kuadrat pada seluruh bilangan real adalah banyak-ke-satu (f(1)=f(−1) untuk x²), sehingga domainnya harus dibatasi terlebih dahulu.
Menerapkannya
- Periksa f(f invers(x))=x pada domain invers.
- Gunakan sketsa untuk menguji apakah garis horizontal memotong grafik asli lebih dari sekali.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Domain: himpunan input yang diperbolehkan untuk suatu fungsi.
- Nyatakan domain dan rentang.
- Waspadai: memangkatkan dua dapat memasukkan solusi ekstraneous (luar).
2 · Regresi, model keuangan dan residu
Adakah ramalan disokong oleh data?
- Garis meramalkan masa perjalanan bas berdasarkan jarak. Ralat pengiraan kecil kurang penting berbanding menggunakan model di luar buktinya.
- Pelajaran ini mempelajari residu: Nilai yang diperhatikan ditolak dengan nilai yang diramalkan oleh model yang disesuaikan.
Metode tersebut
- Model linear y=a+bx memiliki titik potong a dan kemiringan b dengan satuan konteks.
- Periksa residual dan rentang data.
- Untuk perubahan persentase berulang gunakan model geometri; untuk pinjaman bedakan pokok, tingkat, angsuran, dan periode.
Contoh terarah
Model terpasang t=8+2d memprediksi 18 menit pada d=5 km. Jika waktu yang diamati adalah 21, maka residualnya adalah 3 menit. Deposit ¥1000 pada bunga majemuk tahunan 5% menjadi 1000×1.05³=1157.625 setelah 3 tahun.
Di mana letak kesalahannya
- Kesesuaian yang baik tidak membuktikan mekanisme kausalitas.
- Koefisien korelasi mengukur asosiasi linear, bukan gradien.
- Output kalkulator harus diterjemahkan ke dalam model, diverifikasi, dan diinterpretasikan.
Tidak benar: Korelasi tinggi memungkinkan ekstrapolasi yang andal hingga jarak apa pun. Model yang disesuaikan dengan data hanya dapat diandalkan di sekitar data tersebut; melakukan ekstrapolasi jauh di luar rentang data adalah tidak andal.
Menerapkannya
- Dalam IB AI, catat sumber data, domain, asumsi, dan metode kalkulator.
- Bandingkan model alternatif dan evaluasi prediksi berdasarkan residual.
- Jawaban keuangan harus menyatakan waktu pembayaran dan apakah bunga majemuk digunakan.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Residual: Nilai observasi dikurangi nilai yang diprediksi oleh model yang disesuaikan.
- Model linear y=a+bx memiliki titik potong a dan kemiringan b dengan satuan konteks.
- Perhatikan: Kesesuaian yang baik tidak membuktikan mekanisme kausalitas.
2 · Eksponensial, logaritma dan pemodelan
Mengapa model peluruhan tetap positif?
- Konsentrasi obat turun dengan persentase yang sama setiap jam. Pengurangan konstan akan akhirnya memprediksi jumlah negatif.
- Pelajaran ini mempelajari waktu paruh: Waktu yang dibutuhkan untuk kuantitas yang meluruh turun menjadi setengah dari nilai awalnya.
Metode tersebut
- Untuk y=Ae^(kt), k adalah laju proporsional.
- Mengambil logaritma menghasilkan ln y = ln A + kt.
- Logaritma memerlukan argumen positif, dan log(x+y) bukan sama dengan log x + log y.
Contoh terarah
Jika y=80e^(-0.2t), y=40 menghasilkan e^(-0.2t)=1/2. Maka t=ln2/0.2≈3.466. Untuk 3^x=20, x=ln20/ln3. Memplot ln y terhadap t melinearisasi model eksponensial ini.
Di mana letak kesalahannya
- Eksponensial yang disesuaikan adalah sebuah model, bukan jaminan.
- Tentukan satuan waktu dan rentang penggunaannya.
- k negatif menggambarkan peluruhan; nilai awal negatif biasanya bertentangan dengan konteks.
Tidak benar: Untuk x dan y positif, ln(x+y) = ln x + ln y. Logaritma dari jumlah tidak memiliki aturan sederhana; aturan perkalian adalah ln(xy) = ln x + ln y.
Menerapkannya
- Bandingkan observasi aktual dengan model.
- Penyimpangan sistematis mungkin menunjukkan perubahan kondisi.
- Dalam laporan, jelaskan arti laju dan nilai awal, alih-alih hanya memberikan persamaan mentah.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Waktu paruh: Waktu yang dibutuhkan agar jumlah yang meluruh turun menjadi setengah dari nilainya awal.
- Untuk y=Ae^(kt), k adalah laju proporsional.
- Waspadai: Eksponensial yang disesuaikan adalah model, bukan jaminan.
3 · Penalaran sudut, kesamaan dan mensurasi
Apakah volume membesar sebanding dengan panjang?
- Sebuah model memiliki panjang sepertiga dari objek aslinya. Berapa kali lebih kecil luas dan volumenya?
- Pelajaran ini mempelajari faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang yang bersesuaian pada bangun yang serupa.
Metode tersebut
- Untuk bangun yang serupa dengan faktor skala panjang k, luas berskala oleh k² dan volume oleh k³.
- Nyatakan alasan sudut secara eksplisit.
- Garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari pada titik sentuhnya.
Contoh terarah
Jika faktor panjang model ke asli adalah 3, luas model 12 cm² menghasilkan 12×3²=108 cm² dan volume model 8 cm³ menghasilkan 8×3³=216 cm³. Silinder dengan r=3, h=5 memiliki volume πr²h=45π.
Di mana letak kesalahannya
- Sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.
- Gunakan panjang bersesuaian dalam urutan yang sama.
- Konversi satuan linear sebelum menghitung luas atau volume, atau kuadratkan/kubikkan faktor konversi dengan benar.
Tidak benar: Mengalikan setiap panjang benda padat dua kali lipat akan menggandakan volumenya. Volume berskala dengan pangkat tiga dari faktor panjang: mengalikan setiap panjang dua kali lipat akan mengalikan volume dengan 8.
Menerapkannya
- Bukti geometri harus menyebutkan teorema yang relevan, mengidentifikasi sudut atau rasio yang sama, dan menarik kesimpulan.
- Gambar skala hanya merupakan bukti ketika tugas memungkinkan pengukuran.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang bersesuaian pada bangun-bangun sebangsa.
- Untuk bangun yang serupa dengan faktor skala panjang k, luas berskala oleh k² dan volume oleh k³.
- Waspadai: sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.
3 · Segitiga siku-siku dan segitiga tak-siku-siku
Sisi mana yang perlu tangga?
- Tangga mencapai ketinggian 4 m sementara kakinya berada 3 m dari dinding. Sisi mana yang diketahui, dan sudut mana yang perlu kita cari?
- Pelajaran ini mempelajari hipotenusa: sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
Metode tersebut
- Pada segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=sisi depan/miring, cosθ=sisi samping/miring dan tanθ=sisi depan/samping.
- Untuk segitiga lainnya, gunakan aturan sinus atau kosinus, atau luas=ab sin C/2.
Contoh terarah
Panjang tangga adalah c=√(3²+4²)=5 m. Sudutnya terhadap tanah memenuhi tanθ=4/3, sehingga θ≈53.1°. Dengan dua sisi 6 dan 8 yang membentuk sudut 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.
Di mana letak kesalahannya
- Beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.
- Pythagoras memerlukan sudut siku-siku.
- Kesalahan mode sudut pada kalkulator dapat menghasilkan jawaban yang masuk akal namun salah.
- Simpan nilai yang tidak dibulatkan untuk langkah selanjutnya.
Tidak benar: Pythagoras berlaku untuk setiap segitiga, termasuk segitiga tanpa sudut siku-siku. Pythagoras memerlukan sudut siku-siku; untuk segitiga lainnya gunakan aturan kosinus.
Menerapkannya
- Gunakan gambar rencana atau elevasi untuk masalah tiga dimensi sebelum menerapkan aturan segitiga.
- Jelaskan mengapa segitiga yang dipilih memuat panjang atau sudut yang diperlukan.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Miring: Sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
- Pada segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=sisi depan/miring, cosθ=sisi samping/miring dan tanθ=sisi depan/samping.
- Perhatikan: beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.
4 · Ringkasan data, histogram dan interpretasi
Bisakah satu rata-rata menceritakan keseluruhan cerita?
- Dua kelompok memiliki median yang sama tetapi sebaran yang berbeda. Satu ringkasan tidak dapat mendeskripsikan kedua-dua lokasi dan konsistensi.
- Pelajaran ini mempelajari ketumpahan frekuensi: Frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
Metode tersebut
- Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
- Histogram menggunakan luas untuk frekuensi, sehingga tinggi = frekuensi / lebar kelas.
- Estimasi berkelompok mengasumsikan nilai representatif di dalam interval.
Contoh terarah
Kelas dari 10 hingga 20 dengan frekuensi 30 mempunyai ketumpahan 30/10=3. Kelas dari 20 hingga 40 dengan frekuensi 20 mempunyai ketumpahan 20/20=1. Bar yang lebih lebar tidak boleh disalahartikan sebagai ketumpahan yang lebih besar. Untuk nilai 2,4,4,6,9, median ialah 4 dan purata ialah 5.
Di mana letak kesalahannya
- Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
- Rata-rata berkelompok adalah sebuah estimasi.
- Korelasi tidak membuktikan sebab-akibat, dan ekstrapolasi memperluas beyond rentang yang diamati.
Tidak benar: Tinggi batang histogram sama dengan frekuensinya, bahkan dengan lebar kelas yang tidak sama. Dengan lebar kelas yang tidak sama, tingginya adalah kepadatan frekuensi; frekuensinya adalah luas batang tersebut.
Menerapkannya
- Pilih tampilan visual yang sesuai dengan jenis datanya.
- Berikan perbandingan numerik dan maknanya bagi populasi; jangan menyimpulkan presisi lebih tinggi daripada yang didukung oleh sampel.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Kepadatan frekuensi: Frekuensi dibagi lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
- Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
- Perhatikan: Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
4 · Probabilitas, pohon keputusan dan penalaran bersyarat
Apa yang berubah setelah undian pertama?
- Sebuah tas berisi 3 penghitung merah dan 2 penghitung biru. Mengambil dua tanpa pengembalian mengubah peluang warna kedua.
- Pelajaran ini mempelajari probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
Metode tersebut
- Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
- Dengan pengembalian, komposisi tetap tetap.
- Probabilitas bersyarat adalah P(A given B)=P(A∩B)/P(B), untuk P(B)>0.
Contoh terarah
Tanpa pengembalian, P(dua merah)=3/5×2/4=3/10. P(satu dari masing-masing)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Jika P(A∩B)=0.12 dan P(B)=0.3, P(A diberikan B)=0.4.
Di mana letak kesalahannya
- Saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
- Dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak independen.
Tidak benar: Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif harusnya independen. Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif bersifat bergantung: jika satu terjadi, yang lain tidak dapat, sehingga P(A and B)=0≠P(A)P(B).
Menerapkannya
- Tabel dua arah membuat penyebut terbatas terlihat jelas.
- Sebelum menggunakan produk P(A)P(B), justifikasikan independensi dari konteks atau informasi yang disediakan.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
- Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
- Perhatikan: saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
4 · Model binomial, normal dan Poisson
Apa yang membuat hitungan dapat diprediksi?
- Seorang inspektur kualitas menghitung barang cacat. Jumlahnya acak, tetapi model dapat menggambarkan rentang yang mungkin.
- Pelajaran ini mempelajari nilai ekspektasi: Rata-rata berbobot probabilitas dari variabel acak.
Metode tersebut
- Model binomial memerlukan n tetap, uji coba independen, dua hasil, dan p konstan.
- E(X)=np dan Var(X)=np(1-p).
- Untuk model normal gunakan z=(x-μ)/σ.
- Model Poisson mendeskripsikan penghitungan dengan laju konstan dan asumsi independensi yang sesuai.
Contoh terarah
Untuk X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 dan Var(X)=0.8. Untuk kuantitas normal dengan μ=100, σ=15, nilai 130 memiliki z=2. Rata-rata Poisson 3 per jam memberikan rata-rata 6 selama dua jam.
Di mana letak kesalahannya
- Tidak setiap hitungan bersifat binomial: perubahan p atau ketergantungan dapat membuatnya tidak valid.
- Untuk variabel kontinu, probabilitas satu nilai pasti adalah nol.
- Koreksi kontinuitas penting saat mengaproksimasi distribusi diskrit dengan distribusi normal.
Tidak benar: Setiap hitungan keberhasilan memiliki distribusi binomial terlepas dari ketergantungan. Model binomial memerlukan percobaan independen dengan probabilitas tetap; percobaan yang bergantung merusaknya.
Menerapkannya
- Tuliskan peristiwa sebagai pertidaksamaan sebelum menggunakan fungsi distribusi kalkulator.
- Bedakan P(X<k), P(X≤k) dan komplemen ekor.
- Nyatakan asumsi dalam konteksnya.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Nilai harapan: Rata-rata tertimbang probabilitas dari variabel acak.
- Model binomial memerlukan n tetap, uji coba independen, dua hasil, dan p konstan.
- Perhatikan: tidak setiap hitungan bersifat binomial: perubahan p atau ketergantungan dapat membuatnya tidak valid.
4 · Pengujian hipotesis dan kesimpulan kontekstual
Bisakah kebetulan menjelaskan hasilnya?
- Sebuah pabrik mengklaim bahwa hanya 10% barangnya cacat. Sampel mengandung lebih banyak cacat, namun kebetulan saja mungkin menjelaskan sebagian perbedaan tersebut.
- Pelajaran ini mempelajari tingkat signifikansi: ambang batas probabilitas yang dipilih untuk menolak hipotesis nol.
Metode tersebut
- Nyatakan H₀ dan H₁ dalam parameter populasi sebelum memeriksa hasilnya.
- Hitung probabilitas ekor yang sesuai di bawah H₀.
- Tolak H₀ ketika bukti memenuhi aturan signifikansi yang ditentukan; jika tidak, katakan bahwa bukti tidak cukup.
Contoh terarah
Untuk H₀:p=0.1 dan H₁:p>0.1 dengan n=10, memerhatikan sekurang-kurangnya 3 kerosakan mempunyai kebarangkalian 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. Pada 5%, ini merupakan bukti yang tidak mencukupi bahawa kadar kerosakan melebihi 10%.
Di mana letak kesalahannya
- Gagal menolak H₀ bukan pembuktian bahwa H₀ benar.
- Pilih ekor berdasarkan H₁, bukan berdasarkan ekor mana pun yang memberikan hasil kecil.
- Signifikansi statistik tidak mengukur besaran praktis suatu efek.
Tidak benar: Gagal menolak hipotesis nol membuktikannya benar. Tidak menolak hipotesis nol hanya berarti tidak ada cukup bukti untuk menolaknya.
Menerapkannya
- Akhiri dengan kalimat mengenai populasi dan klaim awal.
- Nyatakan asumsi model dan pertimbangkan apakah prosedur pengambilan sampel mendukungnya.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Tingkat signifikansi: Ambang batas probabilitas yang dipilih untuk menolak hipotesis nol.
- Nyatakan H₀ dan H₁ dalam parameter populasi sebelum memeriksa hasilnya.
- Perhatikan: gagal menolak H₀ bukan bukti bahwa H₀ benar.
5 · Turunan dan titik stasioner
Apa kemiringan pada satu titik?
- Jalan melengkung memiliki kemiringan berbeda di posisi yang berbeda. Gradien rata-rata tidak dapat menggambarkan setiap titik.
- Pelajaran ini mempelajari turunan: Laju perubahan instan, juga gradien garis singgung.
Metode tersebut
- Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1).
- Titik stasioner memenuhi dy/dx=0.
- Periksa perubahan tanda turunan, atau turunan kedua jika tidak nol, untuk mengklasifikasikannya.
Contoh terarah
Untuk y=x³-3x, turunan dy/dx=3x²-3. Pada x=1, gradiennya adalah 0 dan y=-2. Turunan keduanya adalah 6x, positif pada x=1, sehingga ini adalah minimum lokal. Pada x=-1, y=2 dan turunan keduanya negatif, memberikan maksimum lokal.
Di mana letak kesalahannya
- Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.
- Titik ujung juga dapat menghasilkan nilai ekstrem pada domain terbatas.
Tidak benar: Setiap titik dengan turunan nol adalah maksimum lokal atau minimum. Turunan nol juga bisa menjadi titik belok: y=x³ pada x=0 bukan maksimum maupun minimum.
Menerapkannya
- Di GCSE/IGCSE gunakan hanya jangkauan polinomial yang diizinkan oleh tingkatan; jangan tambahkan aturan rantai, perkalian, atau pembagian di sana.
- Pada tingkat lanjutan, hubungkan turunan dengan tingkat dan optimasi dengan domain yang valid.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Turunan: Tingkat perubahan sesaat, juga kemiringan garis singgung.
- Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1).
- Perhatikan: Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.
5 · Pencarian akar dan integrasi numerik
Seberapa andal sebuah pendekatan?
- Persamaan nonlinear tidak memiliki solusi eksak yang praktis. Pendekatan tetap memerlukan bukti bahwa ia dapat diandalkan.
- Pelajaran ini mempelajari iterasi: Pembaruan berulang di mana setiap pendekatan baru dihitung dari yang sebelumnya.
Metode tersebut
- Fungsi kontinu dengan tanda berlawanan di dua titik ujung memiliki akar di antara keduanya.
- Metode Newton menggunakan x berikutnya=x-f(x)/f'(x), dengan turunan yang tidak nol.
- Aturan trapesium mengaproksimasi integral tentu menggunakan tinggi titik ujung.
Contoh terarah
Untuk f(x)=x²-2 dan x₀=1.5, Newton memberikan x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. Dengan y=x² pada [0,2] dan dua strip sama besar, h=1 dan luas trapesium=(1/2)(0+2×1+4)=3; luas eksaknya adalah 8/3.
Di mana letak kesalahannya
- Perubahan tanda melintasi titik diskontinu tidak membuktikan adanya akar.
- Iterasi dapat konvergen atau berosilasi.
- Perkiraan lebih tinggi atau lebih rendah dari aturan trapesium bergantung pada kelengkungan, bukan hanya apakah fungsi meningkat.
Tidak benar: Setiap perubahan tanda membuktikan adanya akar, termasuk yang melintasi titik diskontinu. Perubahan tanda menunjukkan adanya akar hanya jika fungsi kontinu di sana: 1/x berubah tanda melintasi x=0 tetapi tidak memiliki akar.
Menerapkannya
- Berikan kriteria penghentian dan laporkan akurasi yang masuk akal.
- Konfirmasi akar pendekatan dengan rentang tanda di sekitar jawaban pembulatan yang disebutkan; jelaskan kegagalan iterasi yang dipilih.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Iterasi: Pembaruan berulang di mana setiap pendekatan baru dihitung dari pendekatan sebelumnya.
- Fungsi kontinu dengan tanda berlawanan di dua titik ujung memiliki akar di antara keduanya.
- Waspadai: Perubahan tanda melintasi titik diskontinu tidak membuktikan adanya akar.
IA · Merencanakan eksplorasi matematika
Apa yang membuat sebuah investigasi menjadi matematis?
- Seorang siswa ingin memprediksi waktu tunggu antrean di kantin sekolah. Eksplorasi yang berguna memerlukan pertanyaan, data, dan matematika yang dapat dijelaskan siswa.
- Pelajaran ini mempelajari asumsi: Kondisi yang diambil agar model matematis memungkinkan dan efeknya harus dievaluasi.
Metode tersebut
- Susun pertanyaan yang terfokus dengan variabel terukur dan metode yang layak.
- Catat keputusan, sumber, dan penalaran matematika secara berkala.
- Gunakan teknologi untuk mendukung analisis, dan jelaskan setiap output penting dengan kata-kata Anda sendiri.
Contoh terarah
Seorang perintis mencatat rata-rata waktu tunggu 3,5,7 menit ketika 10,20,30 orang berada di depannya. Model pertama adalah t=1+0.2n. Pada n=25 memprediksi 6 menit. Waktu tunggu aktual 8 memberikan residual 2; selidiki variasi laju layanan daripada menyembunyikan ketidakcocokan.
Di mana letak kesalahannya
- Jangan menyalin eksplorasi contoh, buat data atau ciptakan keterlibatan pribadi semu.
- Prediksi bukanlah bukti sampai dibandingkan dengan observasi.
- Persetujuan dan privasi penting saat mengumpulkan data sekolah.
Tidak benar: Eksplorasi matematika yang diawasi sekolah dapat digantikan oleh ujian simulasi tertulis berdurasi waktu. Eksplorasi adalah karya tulis panjang yang dinilai berdasarkan kriteria tersendiri; ujian berdurasi waktu menguji hal yang berbeda.
Menerapkannya
- Sekolah mengawasi persetujuan topik, titik pemeriksaan, keaslian, dan penilaian.
- Untuk courses 2021 saat ini, gunakan panduan dan kriteria sekolah saat ini; kriteria inquiry 2029 milik versi asesmen yang berbeda.
Dalam kurikulum Anda
- Aplikasi dan Interpretasi SL, mata kuliah pertama yang diujikan pada 2021.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
- Asumsi: Syarat yang diambil agar model matematis mungkin dan efeknya harus dievaluasi.
- Susun pertanyaan yang terfokus dengan variabel terukur dan metode yang layak.
- Waspadai: jangan meniru eksplorasi contoh, membuat data sendiri, atau memalsu keterlibatan pribadi.