AA: catatan pengajaran kursus
Versi: Penilaian Pertama 2021
Ini adalah catatan pengajaran asli, dan setiap pelajaran diberi label sesuai tingkatan.
1 · Aritmatika eksak dan estimasi
Bisakah kita mengemas tanpa sisa?
- Seorang pemasok mengemas 72 pensil dan 90 pulpen ke dalam tas hadiah yang identik. Bagaimana cara menghindari sisa-sisa?
- Pelajaran ini mempelajari faktor prima: bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
Metode tersebut
- Faktor prima mengungkap struktur bersama.
- Gunakan pangkat faktor prima terkecil yang sama untuk FPB dan terbesar untuk KPK.
- Perkirakan sebelum menghitung; gunakan tanda kurung untuk mempertahankan urutan operasi.
Contoh terarah
$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$
Contoh
72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pulpen masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360.
Di mana letak kesalahannya
- FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
- Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda.
- Estimasi desimal bukan pecahan eksak.
Hati-hati
Tidak benar: FPB dari dua bilangan bulat positif lebih besar dari salah satu bilangan tersebut. FPB membagi kedua bilangan, sehingga tidak pernah bisa lebih besar dari yang terkecil: FPB dari 72 dan 90 adalah 18.
Menerapkannya
- Untuk soal tanpa kalkulator, pertahankan pecahan eksak dan tunjukkan penyederhanaan.
- Untuk soal dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
Ide utama
- Faktor prima: Bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
- Faktor prima mengungkap struktur bersama.
- Perhatikan: FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
1 · Indeks, bentuk akar dan notasi ilmiah
Sekecil apa panjang mikroskopis?
- Mikrokop merekam panjang 0.000072 meter. Representasi ringkas harus mempertahankan ukurannya tetap benar.
- Pelajaran ini mempelajari indeks: Pangkat ke mana basis dinaikkan.
Metode tersebut
- Untuk basis positif yang sama, perkalian menjumlahkan indeks dan pembagian menguranginya.
- Indeks negatif berarti resiprokal; indeks pecahan mewakili akar.
- Bentuk baku memiliki 1≤a<10.
Contoh terarah
$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
Contoh
0.000072=7.2×10^(-5). Juga 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Sederhanakan √72=6√2, lalu rasionalkan 1/√2=√2/2.
Di mana letak kesalahannya
- Hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7.
- Jangan membulatkan bentuk akar ketika jawaban eksak diminta.
Hati-hati
Tidak benar: Untuk setiap a positif, a^2+a^3 sama dengan a^5. Hukum indeks hanya menjumlahkan pangkat saat suku-suku dikalikan: 2²+2³=12, tetapi 2⁵=32.
Menerapkannya
- Periksa pangkat sepuluh terhadap jumlah asli.
- Gunakan bentuk akar untuk geometri eksak, dan bulatkan hanya panjang akhir ketika soal meminta desimal.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Indeks: Pangkat ke mana basis dinaikkan.
- Untuk basis positif yang sama, perkalian menjumlahkan indeks dan pembagian menguranginya.
- Perhatikan: hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7.
1 · Barisan, deret dan rekurensi
Apakah perubahan bersifat penjumlahan atau perkalian?
- Rencana tabungan menambah ¥30 lebih banyak setiap minggu; model populasi tumbuh sebesar 5% setiap tahun. Selisih yang sama dan rasio yang sama memerlukan model yang berbeda.
- Pelajaran ini mempelajari rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut dalam barisan geometri.
Metode tersebut
- Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
- Untuk barisan geometri, u_n=ar^(n-1) dan S_n=a(1-r^n)/(1-r).
- Jumlah tak hingga barisan geometri hanya ada jika |r|<1.
Contoh terarah
$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$
Contoh
Untuk a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 dan S_8=8(10+21)/2=124. Untuk a=12,r=1/2, jumlah tak hingga S=12/(1-1/2)=24. Untuk u_(n+1)=2u_n+1 dengan u_1=1, suku berikutnya adalah 3,7,15.
Di mana letak kesalahannya
- Suku pertama berindeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
- Barisan adalah daftar; deret adalah jumlah.
- Barisan geometri dapat bergantian tanda dan tetap konvergen.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap deret geometri memiliki jumlah tak hingga yang terbatas. Jumlah tak hingga hanya ada ketika −1<r<1; untuk r=2 suku-sukunya membesar tanpa batas.
Menerapkannya
- Jelaskan apakah konteks membenarkan perubahan aditif atau perkalian.
- Dalam keuangan, bedakan setoran tunggal dari serangkaian setoran sebelum memilih rumus jumlah.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut pada barisan geometri.
- Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
- Perhatikan: suku pertama memiliki indeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
1 · Persentase, rasio dan penalaran proporsional
Bisakah kita memulihkan harga asli?
- Sebuah mantel dipotong harganya sebesar 20% menjadi ¥240. Diskon berlaku pada harga asli, bukan pada harga jual.
- Pelajaran ini mempelajari pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
Metode tersebut
- Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
- Balik persentase dengan membagi pengalinya.
- Dalam rasio, temukan terlebih dahulu jumlah total bagian.
Contoh terarah
$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$
Contoh
Misalkan harga asli adalah P. Modelnya adalah harga jual=0.8P. Oleh karena itu P=240/0.8=300. Peningkatan 20% kemudian menghasilkan 240×1.2=288, sehingga kedua perubahan tersebut saling meniadakan.
Di mana letak kesalahannya
- Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
- Mengurangkan persentase kehilangan basis tersebut.
- Untuk perubahan majemuk, kalikan pengalinya; jangan tambahkan persentasenya.
Hati-hati
Tidak benar: Penurunan 20% diikuti kenaikan 20% tidak mengembalikan harga awal. Kenaikan 20% diambil dari jumlah yang lebih kecil: 100×0.8×1.2=96, bukan 100.
Menerapkannya
- Untuk proporsional langsung gunakan y=kx; untuk proporsional terbalik gunakan y=k/x.
- Hitung k dari pasangan yang diketahui sebelum menggunakan nilai baru.
- Nyatakan apa yang Anda tetapkan tetap konstan.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
- Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
- Perhatikan: Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
1 · Bilangan kompleks dan akar-akar
Bagaimana jika akarnya bukan bilangan real?
- Persamaan x²+1=0 tidak memiliki akar real. Memperluas sistem bilangan memungkinkan kita merepresentasikan dan menghitung kedua akarnya.
- Pelajaran ini mempelajari konjugat kompleks: Bilangan yang diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner.
Metode tersebut
- Tulis z=a+bi dengan i²=-1.
- Konjugatnya adalah a-bi dan z dikali konjugatnya=a²+b².
- Modulusnya adalah √(a²+b²); argumen memerlukan kuadran yang tepat.
- Akar konjugat muncul pada polinomial dengan koefisien real.
Contoh terarah
$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$
Contoh
Untuk z=3+4i, |z|=5 dan konjugat z=3-4i. Resiproknya adalah (3-4i)/25. Untuk x²-6x+13=0, akarnya adalah 3±2i. Mengalikan dengan konjugat membuat penyebut kompleks menjadi real.
Di mana letak kesalahannya
- Akar kuadrat dari suatu jumlah bukan merupakan jumlah dari akar-akar kuadratnya.
- Invers tangen saja mungkin mengembalikan kuadran yang salah.
- Jangan keliru antara modulus dengan modulus kuadrat.
Hati-hati
Tidak benar: Untuk a+bi, modulusnya adalah a+b. Modulus adalah √(a²+b²): untuk 3+4i adalah 5, bukan 7.
Menerapkannya
- Gambar sumbu real secara horizontal dan sumbu imajiner secara vertikal.
- Untuk perkalian, modulus dikalikan dan argumen dijumlahkan; pangkat memperluas pola geometris ini melalui teorema de Moivre.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Konjugat kompleks: Bilangan yang diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner.
- Tulis z=a+bi dengan i²=-1.
- Waspadai: akar kuadrat dari suatu jumlah bukan merupakan jumlah dari akar-akar kuadratnya.
1 · Ekspansi binomial dan pendekatan yang valid
Bagaimana perubahan kecil mempengaruhi suatu pangkat?
- Perubahan pengukuran kecil mempengaruhi pangkat dari suatu besaran. Ekspansi dapat menunjukkan ukuran efek pertama dan kedua.
- Pelajaran ini mempelajari koefisien binomial: Jumlah cara memilih sejumlah objek tertentu dari suatu himpunan.
Metode tersebut
- Untuk bilangan bulat positif n, (a+b)^n adalah perluasan binomial terbatas.
- Untuk n bukan bilangan bulat, jabarkan (1+x)^n sebagai 1+nx+n(n-1)x²/2+... dengan |x|<1.
- Keluarkan konstanta sebelum menggunakan bentuk ini.
Contoh terarah
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$
Contoh
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Untuk (1+x)^(-1), tiga suku pertama adalah 1-x+x²; pada x=0.1 ini menghasilkan 0.91 dibandingkan dengan nilai eksak 1/1.1≈0.909091.
Di mana letak kesalahannya
- Perluasan dalam 2x memerlukan |2x|<1 untuk deret tak hingga, bukan sekadar |x|<1.
- Perluasan bilangan bulat positif bersifat terbatas dan tidak memiliki batasan konvergensi tersebut.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap perluasan binomial adalah polinomial terbatas, termasuk pangkat yang bukan bilangan bulat positif. Untuk pangkat negatif atau pecahan, perluasan tersebut adalah deret tak hingga, valid hanya untuk |x|<1.
Menerapkannya
- Nyatakan rentang keabsahan bersama dengan pendekatan.
- Pertahankan cukup suku untuk mendukung akurasi yang diminta, dan bedakan koefisien dari seluruh suku yang mengandung x.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Koefisien binomial: Banyak cara memilih sejumlah objek tertentu dari suatu himpunan.
- Untuk bilangan bulat positif n, (a+b)^n adalah perluasan binomial terbatas.
- Perhatikan: perluasan dalam 2x memerlukan |2x|<1 untuk deret tak hingga, bukan sekadar |x|<1.
1 · Deret, selisih hingga dan ekspansi Taylor
Bisakah polinomial menggantikan fungsi eksponensial di dekatnya?
- Di sekitar titik yang diketahui, fungsi yang rumit dapat digantikan dengan pendekatan polinomial. Pendekatan ini memerlukan pusat dan skala yang valid.
- Pelajaran ini mempelajari polinomial Taylor: Polinomial yang dibentuk dari turunan-fturunan suatu fungsi pada pusat yang dipilih.
Metode tersebut
- Tentang x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... ketika ekspansi berlaku.
- Pada a=0 ini adalah ekspansi Maclaurin.
- Penjumlahan hingga juga dapat disederhanakan melalui pembatalan atau rumus penjumlahan standar.
Contoh terarah
$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$
Contoh
Tiga suku pertama dari e^x adalah 1+x+x²/2. Pada x=0.1 ini menghasilkan 1.105, mendekati e^0.1≈1.105170. Untuk jumlah k² dari k=1 hingga 5, rumus n(n+1)(2n+1)/6 memberikan hasil 5×6×11/6=55.
Di mana letak kesalahannya
- Faktorial berada di penyebut setiap koefisien Taylor.
- Pusat ekspansi tidak selalu nol.
- Pendekatan yang dekat dengan pusatnya bisa menjadi buruk jauh darinya.
Hati-hati
Tidak benar: Polinomial Taylor eksak untuk fungsi asli pada setiap input. Polinomial Taylor adalah sebuah pendekatan; biasanya akurat hanya di dekat pusatnya.
Menerapkannya
- Untuk deret teleskopik, tuliskan beberapa suku dan identifikasi kedua ujung yang tersisa.
- Untuk pendekatan Taylor, nyatakan ordernya dan bandingkan dengan nilai yang diketahui atau estimasi sisa jika diperlukan.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Polinomial Taylor: Polinomial yang dibentuk dari turunan fungsi pada pusat yang dipilih.
- Tentang x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... ketika ekspansi berlaku.
- Perhatikan: faktorial berada di penyebut setiap koefisien Taylor.
2 · Domain, invers dan komposisi
Input mana yang diizinkan?
- Model akar kuadrat menghasilkan output real hanya untuk beberapa input. Rumusnya saja tidak menentukan fungsi lengkap.
- Pelajaran ini mempelajari domain: Himpunan input yang diizinkan untuk suatu fungsi.
Metode tersebut
- Nyatakan domain dan rentang.
- Untuk invers, pastikan fungsi tersebut satu-satu pada domainnya terlebih dahulu.
- Komposisi fg berarti terapkan g terlebih dahulu, lalu f; output perantara harus menjadi input yang diperbolehkan untuk f.
Contoh terarah
$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
Contoh
Untuk f(x)=√(x-2), x≥2 dan jangkauannya adalah y≥0. Dari y=√(x-2), diperoleh x=y²+2. Dengan demikian f invers(x)=x²+2 dengan x≥0. Untuk g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Di mana letak kesalahannya
- Memangkatkan dua dapat memasukkan solusi ekstraneous (luar).
- Membatasi domain parabola sangat penting sebelum mengklaim adanya fungsi invers.
- Translasi horizontal di dalam f memiliki tanda berlawanan dengan pergerakan grafiknya.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap fungsi kuadrat pada seluruh bilangan real memiliki fungsi invers. Kuadrat pada seluruh bilangan real adalah banyak-ke-satu (f(1)=f(−1) untuk x²), sehingga domainnya harus dibatasi terlebih dahulu.
Menerapkannya
- Periksa f(f invers(x))=x pada domain invers.
- Gunakan sketsa untuk menguji apakah garis horizontal memotong grafik asli lebih dari sekali.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Domain: himpunan input yang diperbolehkan untuk suatu fungsi.
- Nyatakan domain dan rentang.
- Waspadai: memangkatkan dua dapat memasukkan solusi ekstraneous (luar).
2 · Eksponensial, logaritma dan pemodelan
Mengapa model peluruhan tetap positif?
- Konsentrasi obat turun dengan persentase yang sama setiap jam. Pengurangan konstan akan akhirnya memprediksi jumlah negatif.
- Pelajaran ini mempelajari waktu paruh: Waktu yang dibutuhkan untuk kuantitas yang meluruh turun menjadi setengah dari nilai awalnya.
Metode tersebut
- Untuk y=Ae^(kt), k adalah laju proporsional.
- Mengambil logaritma menghasilkan ln y = ln A + kt.
- Logaritma memerlukan argumen positif, dan log(x+y) bukan sama dengan log x + log y.
Contoh terarah
$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
Contoh
Jika y=80e^(-0.2t), y=40 menghasilkan e^(-0.2t)=1/2. Maka t=ln2/0.2≈3.466. Untuk 3^x=20, x=ln20/ln3. Memplot ln y terhadap t melinearisasi model eksponensial ini.
Di mana letak kesalahannya
- Eksponensial yang disesuaikan adalah sebuah model, bukan jaminan.
- Tentukan satuan waktu dan rentang penggunaannya.
- k negatif menggambarkan peluruhan; nilai awal negatif biasanya bertentangan dengan konteks.
Hati-hati
Tidak benar: Untuk x dan y positif, ln(x+y) = ln x + ln y. Logaritma dari jumlah tidak memiliki aturan sederhana; aturan perkalian adalah ln(xy) = ln x + ln y.
Menerapkannya
- Bandingkan observasi aktual dengan model.
- Penyimpangan sistematis mungkin menunjukkan perubahan kondisi.
- Dalam laporan, jelaskan arti laju dan nilai awal, alih-alih hanya memberikan persamaan mentah.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Waktu paruh: Waktu yang dibutuhkan agar jumlah yang meluruh turun menjadi setengah dari nilainya awal.
- Untuk y=Ae^(kt), k adalah laju proporsional.
- Waspadai: Eksponensial yang disesuaikan adalah model, bukan jaminan.
3 · Penalaran sudut, kesamaan dan mensurasi
Apakah volume membesar sebanding dengan panjang?
- Sebuah model memiliki panjang sepertiga dari objek aslinya. Berapa kali lebih kecil luas dan volumenya?
- Pelajaran ini mempelajari faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang yang bersesuaian pada bangun yang serupa.
Metode tersebut
- Untuk bangun yang serupa dengan faktor skala panjang k, luas berskala oleh k² dan volume oleh k³.
- Nyatakan alasan sudut secara eksplisit.
- Garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari pada titik sentuhnya.
Contoh terarah
$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$
Contoh
Jika faktor panjang model ke asli adalah 3, luas model 12 cm² menghasilkan 12×3²=108 cm² dan volume model 8 cm³ menghasilkan 8×3³=216 cm³. Silinder dengan r=3, h=5 memiliki volume πr²h=45π.
Di mana letak kesalahannya
- Sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.
- Gunakan panjang bersesuaian dalam urutan yang sama.
- Konversi satuan linear sebelum menghitung luas atau volume, atau kuadratkan/kubikkan faktor konversi dengan benar.
Hati-hati
Tidak benar: Mengalikan setiap panjang benda padat dua kali lipat akan menggandakan volumenya. Volume berskala dengan pangkat tiga dari faktor panjang: mengalikan setiap panjang dua kali lipat akan mengalikan volume dengan 8.
Menerapkannya
- Bukti geometri harus menyebutkan teorema yang relevan, mengidentifikasi sudut atau rasio yang sama, dan menarik kesimpulan.
- Gambar skala hanya merupakan bukti ketika tugas memungkinkan pengukuran.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang bersesuaian pada bangun-bangun sebangsa.
- Untuk bangun yang serupa dengan faktor skala panjang k, luas berskala oleh k² dan volume oleh k³.
- Waspadai: sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.
3 · Segitiga siku-siku dan segitiga tak-siku-siku
Sisi mana yang perlu tangga?
- Tangga mencapai ketinggian 4 m sementara kakinya berada 3 m dari dinding. Sisi mana yang diketahui, dan sudut mana yang perlu kita cari?
- Pelajaran ini mempelajari hipotenusa: sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
Metode tersebut
- Pada segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=sisi depan/miring, cosθ=sisi samping/miring dan tanθ=sisi depan/samping.
- Untuk segitiga lainnya, gunakan aturan sinus atau kosinus, atau luas=ab sin C/2.
Contoh terarah
$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$
Contoh
Panjang tangga adalah c=√(3²+4²)=5 m. Sudutnya terhadap tanah memenuhi tanθ=4/3, sehingga θ≈53.1°. Dengan dua sisi 6 dan 8 yang membentuk sudut 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.
Di mana letak kesalahannya
- Beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.
- Pythagoras memerlukan sudut siku-siku.
- Kesalahan mode sudut pada kalkulator dapat menghasilkan jawaban yang masuk akal namun salah.
- Simpan nilai yang tidak dibulatkan untuk langkah selanjutnya.
Hati-hati
Tidak benar: Pythagoras berlaku untuk setiap segitiga, termasuk segitiga tanpa sudut siku-siku. Pythagoras memerlukan sudut siku-siku; untuk segitiga lainnya gunakan aturan kosinus.
Menerapkannya
- Gunakan gambar rencana atau elevasi untuk masalah tiga dimensi sebelum menerapkan aturan segitiga.
- Jelaskan mengapa segitiga yang dipilih memuat panjang atau sudut yang diperlukan.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Miring: Sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
- Pada segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=sisi depan/miring, cosθ=sisi samping/miring dan tanθ=sisi depan/samping.
- Perhatikan: beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.
3 · Radian, identitas dan persamaan trigonometri
Berapa jauh rim tersebut bergerak?
- Roda berputar menyapu busur. Radian memungkinkan sudutnya terhubung langsung dengan jarak yang ditempuh sepanjang rim.
- Pelajaran ini mempelajari radian: sudut yang dibentuk oleh busur yang panjangnya sama dengan jari-jari.
Metode tersebut
- Untuk θ dalam radian, panjang busur s=rθ dan luas juring A=r²θ/2.
- Gunakan sin²θ+cos²θ=1 dan identitas sudut untuk menyederhanakan atau menyelesaikan.
- Sebutkan setiap solusi dalam interval yang ditentukan.
Contoh terarah
$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$
Contoh
Untuk r=4 dan θ=π/3, s=4π/3 dan A=8π/3. Menyelesaikan sin x=1/2 pada 0≤x<2π menghasilkan x=π/6 dan 5π/6. Untuk sin2x=1/2, selesaikan terlebih dahulu pada 0≤2x<4π sebelum membagi dengan 2.
Di mana letak kesalahannya
- Invers sinus pada kalkulator memberikan satu nilai utama.
- Nilai tersebut tidak memberikan semua solusi.
- Membagi dengan sin x dapat menghilangkan solusi di mana sin x=0; periksa kasus ini terlebih dahulu.
Hati-hati
Tidak benar: Nilai invers sinus utama adalah satu-satunya solusi dalam satu putaran penuh. Sinus mengambil sebagian besar nilai dua kali dalam satu putaran penuh: sin x=0.5 memberikan 30° dan 150°.
Menerapkannya
- Pilih identitas yang menyederhanakan persamaan menjadi satu fungsi trigonometri.
- Pertahankan sudut istimewa yang familiar sedapat mungkin, dan periksa setiap solusi terhadap persamaan awal.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Radian: Sudut yang dibentuk oleh busur dengan panjang sama dengan jari-jari.
- Untuk θ dalam radian, panjang busur s=rθ dan luas juring A=r²θ/2.
- Perhatikan: Invers sinus pada kalkulator memberikan satu nilai utama.
3 · Vektor dan geometri transformasi
Mengapa perpindahan lebih pendek daripada jarak tempuh?
- Berjalan 4 m ke timur dan 3 m ke utara menghasilkan perpindahan 5 m, meskipun jarak yang ditempuh adalah 7 m.
- Pelajaran ini mempelajari vektor resultan: jumlah vektor yang mewakili gabungan perpindahan atau gaya.
Metode tersebut
- Jumlahkan komponen vektor yang bersesuaian.
- Perpindahan dari A ke B adalah OB-OA.
- Vektor sejajar adalah kelipatan skalar.
- Vektor memiliki besaran dan arah; jarak adalah besaran skalar.
Contoh terarah
$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
Contoh
Dengan a=(4,1) dan b=(1,3), a+b=(5,4). Hasil kali titiknya adalah a·b=4×1+1×3=7. Besaran a adalah √17. Untuk A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) dan |AB|=5.
Di mana letak kesalahannya
- Urutan pengurangan penting: BA=-AB.
- Membuktikan kesejangan memerlukan hubungan perkalian skalar; sketsa saja tidak cukup.
- Perbesaran negatif membalikkan posisi relatif terhadap pusatnya.
Hati-hati
Tidak benar: AB dan BA memiliki komponen yang sama. BA berlawanan arah dengan AB, sehingga BA=−AB: setiap komponen berubah tanda.
Menerapkannya
- Untuk translasi, setiap titik menggunakan perpindahan yang sama.
- Untuk masalah garis tingkat lanjut, bedakan vektor posisi dari vektor arah dan selesaikan persamaan parameter secara konsisten.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Vektor resultan: Jumlah vektor yang mewakili kombinasi perpindahan atau gaya.
- Jumlahkan komponen vektor yang bersesuaian.
- Waspadai: urutan pengurangan penting: BA=-AB.
4 · Ringkasan data, histogram dan interpretasi
Bisakah satu rata-rata menceritakan keseluruhan cerita?
- Dua kelompok memiliki median yang sama tetapi sebaran yang berbeda. Satu ringkasan tidak dapat mendeskripsikan kedua-dua lokasi dan konsistensi.
- Pelajaran ini mempelajari ketumpahan frekuensi: Frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
Metode tersebut
- Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
- Histogram menggunakan luas untuk frekuensi, sehingga tinggi = frekuensi / lebar kelas.
- Estimasi berkelompok mengasumsikan nilai representatif di dalam interval.
Contoh terarah
$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$
Contoh
Kelas dari 10 hingga 20 dengan frekuensi 30 mempunyai ketumpahan 30/10=3. Kelas dari 20 hingga 40 dengan frekuensi 20 mempunyai ketumpahan 20/20=1. Bar yang lebih lebar tidak boleh disalahartikan sebagai ketumpahan yang lebih besar. Untuk nilai 2,4,4,6,9, median ialah 4 dan purata ialah 5.
Di mana letak kesalahannya
- Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
- Rata-rata berkelompok adalah sebuah estimasi.
- Korelasi tidak membuktikan sebab-akibat, dan ekstrapolasi memperluas beyond rentang yang diamati.
Hati-hati
Tidak benar: Tinggi batang histogram sama dengan frekuensinya, bahkan dengan lebar kelas yang tidak sama. Dengan lebar kelas yang tidak sama, tingginya adalah kepadatan frekuensi; frekuensinya adalah luas batang tersebut.
Menerapkannya
- Pilih tampilan visual yang sesuai dengan jenis datanya.
- Berikan perbandingan numerik dan maknanya bagi populasi; jangan menyimpulkan presisi lebih tinggi daripada yang didukung oleh sampel.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Kepadatan frekuensi: Frekuensi dibagi lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
- Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
- Perhatikan: Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
4 · Probabilitas, pohon keputusan dan penalaran bersyarat
Apa yang berubah setelah undian pertama?
- Sebuah tas berisi 3 penghitung merah dan 2 penghitung biru. Mengambil dua tanpa pengembalian mengubah peluang warna kedua.
- Pelajaran ini mempelajari probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
Metode tersebut
- Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
- Dengan pengembalian, komposisi tetap tetap.
- Probabilitas bersyarat adalah P(A given B)=P(A∩B)/P(B), untuk P(B)>0.
Contoh terarah
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
Contoh
Tanpa pengembalian, P(dua merah)=3/5×2/4=3/10. P(satu dari masing-masing)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Jika P(A∩B)=0.12 dan P(B)=0.3, P(A diberikan B)=0.4.
Di mana letak kesalahannya
- Saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
- Dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak independen.
Hati-hati
Tidak benar: Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif harusnya independen. Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif bersifat bergantung: jika satu terjadi, yang lain tidak dapat, sehingga P(A and B)=0≠P(A)P(B).
Menerapkannya
- Tabel dua arah membuat penyebut terbatas terlihat jelas.
- Sebelum menggunakan produk P(A)P(B), justifikasikan independensi dari konteks atau informasi yang disediakan.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
- Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
- Perhatikan: saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
4 · Model binomial, normal dan Poisson
Apa yang membuat hitungan dapat diprediksi?
- Seorang inspektur kualitas menghitung barang cacat. Jumlahnya acak, tetapi model dapat menggambarkan rentang yang mungkin.
- Pelajaran ini mempelajari nilai ekspektasi: Rata-rata berbobot probabilitas dari variabel acak.
Metode tersebut
- Model binomial memerlukan n tetap, uji coba independen, dua hasil, dan p konstan.
- E(X)=np dan Var(X)=np(1-p).
- Untuk model normal gunakan z=(x-μ)/σ.
- Model Poisson mendeskripsikan penghitungan dengan laju konstan dan asumsi independensi yang sesuai.
Contoh terarah
$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$
Contoh
Untuk X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 dan Var(X)=0.8. Untuk kuantitas normal dengan μ=100, σ=15, nilai 130 memiliki z=2. Rata-rata Poisson 3 per jam memberikan rata-rata 6 selama dua jam.
Di mana letak kesalahannya
- Tidak setiap hitungan bersifat binomial: perubahan p atau ketergantungan dapat membuatnya tidak valid.
- Untuk variabel kontinu, probabilitas satu nilai pasti adalah nol.
- Koreksi kontinuitas penting saat mengaproksimasi distribusi diskrit dengan distribusi normal.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap hitungan keberhasilan memiliki distribusi binomial terlepas dari ketergantungan. Model binomial memerlukan percobaan independen dengan probabilitas tetap; percobaan yang bergantung merusaknya.
Menerapkannya
- Tuliskan peristiwa sebagai pertidaksamaan sebelum menggunakan fungsi distribusi kalkulator.
- Bedakan P(X<k), P(X≤k) dan komplemen ekor.
- Nyatakan asumsi dalam konteksnya.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
Ide utama
- Nilai harapan: Rata-rata tertimbang probabilitas dari variabel acak.
- Model binomial memerlukan n tetap, uji coba independen, dua hasil, dan p konstan.
- Perhatikan: tidak setiap hitungan bersifat binomial: perubahan p atau ketergantungan dapat membuatnya tidak valid.
5 · Turunan dan titik stasioner
Apa kemiringan pada satu titik?
- Jalan melengkung memiliki kemiringan berbeda di posisi yang berbeda. Gradien rata-rata tidak dapat menggambarkan setiap titik.
- Pelajaran ini mempelajari turunan: Laju perubahan instan, juga gradien garis singgung.
Metode tersebut
- Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1).
- Titik stasioner memenuhi dy/dx=0.
- Periksa perubahan tanda turunan, atau turunan kedua jika tidak nol, untuk mengklasifikasikannya.
Contoh terarah
$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$
Contoh
Untuk y=x³-3x, turunan dy/dx=3x²-3. Pada x=1, gradiennya adalah 0 dan y=-2. Turunan keduanya adalah 6x, positif pada x=1, sehingga ini adalah minimum lokal. Pada x=-1, y=2 dan turunan keduanya negatif, memberikan maksimum lokal.
Di mana letak kesalahannya
- Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.
- Titik ujung juga dapat menghasilkan nilai ekstrem pada domain terbatas.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap titik dengan turunan nol adalah maksimum lokal atau minimum. Turunan nol juga bisa menjadi titik belok: y=x³ pada x=0 bukan maksimum maupun minimum.
Menerapkannya
- Di GCSE/IGCSE gunakan hanya jangkauan polinomial yang diizinkan oleh tingkatan; jangan tambahkan aturan rantai, perkalian, atau pembagian di sana.
- Pada tingkat lanjutan, hubungkan turunan dengan tingkat dan optimasi dengan domain yang valid.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Turunan: Tingkat perubahan sesaat, juga kemiringan garis singgung.
- Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1).
- Perhatikan: Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.
5 · Integral, luas dan akumulasi
Berapa banyak perubahan yang telah terakumulasi?
- Grafik kecepatan memberi tahu kita gerakan pada suatu saat. Bagaimana kita dapat memulihkan perpindahan yang terkumpul seiring waktu?
- Pelajaran ini mempelajari integral tak tentu: Fungsi yang turunannya sama dengan fungsi pengintegrasian (integran) yang diberikan.
Metode tersebut
- Untuk n≠-1, integral dari ax^n adalah ax^(n+1)/(n+1)+C.
- Integral tentu adalah akumulasi bertanda.
- Pisahkan pada perubahan tanda jika total luas atau jarak diperlukan.
Contoh terarah
$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$
Contoh
Untuk v(t)=3t²-3 atas 0≤t≤2, perpindahan=[t³-3t]_0^2=2. Karena v berubah tanda pada t=1, jarak=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Konstanta saling menghilangkan hanya untuk integral tertentu.
Di mana letak kesalahannya
- Integral dari 1/x adalah ln|x|+C, bukan aturan pangkat dengan n=-1.
- Luas bertanda dapat bernilai nol meskipun total luas yang terjepit positif.
Hati-hati
Tidak benar: Integral tentu sama dengan total luas positif, bahkan ketika grafik memotong sumbu. Area di bawah sumbu dihitung negatif, sehingga integral tentu bisa lebih kecil dari total luas, atau bahkan nol.
Menerapkannya
- Identifikasi arti integral dan sertakan satuan yang benar.
- Laju yang diukur per detik diintegrasikan menjadi besaran mendasar, bukan menjadi laju lain.
- Turunkan antiturunan untuk memverifikasinya.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Antiturunan: Fungsi yang turunannya sama dengan fungsi pengintegralan yang diberikan.
- Untuk n≠-1, integral dari ax^n adalah ax^(n+1)/(n+1)+C.
- Perhatikan: integral dari 1/x adalah ln|x|+C, bukan aturan pangkat dengan n=-1.
5 · Turunan rantai, hasil kali, hasil bagi, dan implisit
Apakah ekspresi di dalam berubah juga?
- Kurva biaya adalah pangkat dari ekspresi yang berubah. Menurunkan pangkat luar saja melewatkan laju inputnya.
- Pelajaran ini mempelajari aturan rantai: Aturan yang mengalikan turunan luar dengan turunan dalam untuk fungsi komposit.
Metode tersebut
- Untuk y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
- Untuk uv, turunkan menjadi u prime v+uv prime.
- Untuk u/v, gunakan (u prime v-uv prime)/v², di mana v≠0.
Contoh terarah
$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$
Contoh
Untuk y=(3x+1)^4, turunan y=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. Pada x=0, gradien adalah 12. Untuk x²+y²=25, turunkan secara implisit: 2x + 2y turunan y = 0, sehingga turunan y = -x/y ketika y≠0.
Di mana letak kesalahannya
- Turunan dari hasil kali bukanlah hasil kali dari turunannya.
- Dalam diferensiasi implisit, setiap fungsi turunan dari y membawa faktor dy/dx.
- Penyebut hasil bagi dikuadratkan.
Hati-hati
Tidak benar: Turunan dari u(x)v(x) bukan u' kali v'. Aturan perkalian adalah (uv)′=u′v+uv′: untuk x·x, turunannya adalah 2x, bukan 1×1=1.
Menerapkannya
- Pilih bentuk yang berguna sebelum menurunkan: memperluas polinomial pendek mungkin lebih mudah.
- Untuk laju terkait, tulis hubungannya dalam simbol, turunkan terhadap waktu, lalu substitusikan nilai terukur.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Aturan rantai: Aturan yang mengalikan turunan luar dengan turunan dalam untuk fungsi komposit.
- Untuk y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
- Waspadai: Turunan dari sebuah perkalian bukan hasil kali dari turunannya.
5 · Substitusi, bagian-bagian, dan pecahan parsial
Dapatkah kita mengintegrasikan kedua faktor secara terpisah?
- Produk sederhana seperti xe^x tidak dapat diintegralkan dengan mengintegrasikan setiap faktornya secara terpisah.
- Pelajaran ini mempelajari integrasi parsial: Metode integrasi yang didasarkan pada turunan dari suatu produk.
Metode tersebut
- Gunakan substitusi ketika turunan dalam muncul sebagai faktor.
- Secara parsial, integral u v' = uv - integral u' v.
- Untuk fungsi rasional, lakukan pembagian terlebih dahulu jika perlu, lalu dekomposisi menjadi pecahan parsial.
Contoh terarah
$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$
Contoh
Untuk integral xe^x dx, ambil u=x dan v'=e^x. Maka integralnya adalah xe^x-e^x+C. Untuk integral 2x/(x²+1) dx, substitusikan w=x²+1, dw=2x dx; jawabannya adalah ln(x²+1)+C.
Di mana letak kesalahannya
- Memilih u dan v' dengan baik itu penting: integral yang tersisa harus menjadi lebih sederhana.
- Dalam substitusi tentu, ubah batasnya atau kembalikan ke x sebelum menerapkan batas asli.
Hati-hati
Tidak benar: Integral dari suatu perkalian sama dengan hasil kali integral terpisahnya. Perkalian memerlukan metode seperti integrasi parsial atau substitusi: ∫x·x dx=x³/3, bukan (x²/2)(x²/2).
Menerapkannya
- Periksa dengan menurunkan.
- Untuk volume putar sekitar sumbu-x gunakan V=π integral y² dx; jangan menyambungkan kuadrat fungsi dengan integral fungsi.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Integrasi parsial: Metode integrasi berdasarkan turunan dari sebuah perkalian.
- Gunakan substitusi ketika turunan dalam muncul sebagai faktor.
- Perhatikan: memilih u dan v' dengan baik itu penting: integral yang tersisa harus menjadi lebih sederhana.
5 · Persamaan diferensial dan solusi numerik
Apa yang ditentukan oleh nilai awal?
- Laju populasi yang tumbuh berbanding lurus dengan ukurannya saat ini. Persamaan laju menggambarkan seluruh keluarga solusi hingga suatu populasi awal disediakan.
- Pelajaran ini mempelajari kondisi awal: Nilai yang ditentukan yang memilih solusi tertentu dari sebuah keluarga solusi.
Metode tersebut
- Untuk dy/dx=ky, pisahkan variabel: dy/y=k dx, menghasilkan y=Ae^(kx).
- Gunakan kondisi awal untuk menemukan A.
- Metode Euler mengambil y berikutnya=y+h f(x,y), dengan langkah h yang dipilih.
Contoh terarah
$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$
Contoh
Dengan dy/dx=0.5y dan y(0)=2, maka y=2e^(0.5x). Metode Euler dengan h=0.2 menghasilkan y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 dan y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. Nilai kedua yang eksak sekitar 2.4428.
Di mana letak kesalahannya
- Kondisi awal menentukan konstanta integrasi; ini bukan pengganti untuk mengintegralkan.
- Membagi dengan y dapat melewatkan solusi ekuilibrium y=0.
- Akurasi Euler bergantung pada ukuran langkah dan persamaan.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap ukuran langkah memberikan aproksimasi Euler yang sama persis. Metode Euler bergantung pada ukuran langkah; langkah yang lebih kecil biasanya memberikan nilai yang lebih akurat.
Menerapkannya
- Untuk persamaan linear orde dua, gabungkan fungsi komplementer dengan integral parsial yang sesuai, lalu terapkan kondisi awal yang diperlukan.
- Ini adalah ruang lingkup Further Pure; periksa unit yang dinamakan.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Kondisi awal: Nilai yang ditentukan yang memilih solusi tertentu dari suatu keluarga solusi.
- Untuk dy/dx=ky, pisahkan variabel: dy/y=k dx, menghasilkan y=Ae^(kx).
- Perhatikan: kondisi awal menentukan konstanta integrasi; ini bukan pengganti untuk melakukan integrasi.
IA · Merencanakan eksplorasi matematika
Apa yang membuat sebuah investigasi menjadi matematis?
- Seorang siswa ingin memprediksi waktu tunggu antrean di kantin sekolah. Eksplorasi yang berguna memerlukan pertanyaan, data, dan matematika yang dapat dijelaskan siswa.
- Pelajaran ini mempelajari asumsi: Kondisi yang diambil agar model matematis memungkinkan dan efeknya harus dievaluasi.
Metode tersebut
- Susun pertanyaan yang terfokus dengan variabel terukur dan metode yang layak.
- Catat keputusan, sumber, dan penalaran matematika secara berkala.
- Gunakan teknologi untuk mendukung analisis, dan jelaskan setiap output penting dengan kata-kata Anda sendiri.
Contoh terarah
$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$
Contoh
Seorang perintis mencatat rata-rata waktu tunggu 3,5,7 menit ketika 10,20,30 orang berada di depannya. Model pertama adalah t=1+0.2n. Pada n=25 memprediksi 6 menit. Waktu tunggu aktual 8 memberikan residual 2; selidiki variasi laju layanan daripada menyembunyikan ketidakcocokan.
Di mana letak kesalahannya
- Jangan menyalin eksplorasi contoh, buat data atau ciptakan keterlibatan pribadi semu.
- Prediksi bukanlah bukti sampai dibandingkan dengan observasi.
- Persetujuan dan privasi penting saat mengumpulkan data sekolah.
Hati-hati
Tidak benar: Eksplorasi matematika yang diawasi sekolah dapat digantikan oleh ujian simulasi tertulis berdurasi waktu. Eksplorasi adalah karya tulis panjang yang dinilai berdasarkan kriteria tersendiri; ujian berdurasi waktu menguji hal yang berbeda.
Menerapkannya
- Sekolah mengawasi persetujuan topik, titik pemeriksaan, keaslian, dan penilaian.
- Untuk courses 2021 saat ini, gunakan panduan dan kriteria sekolah saat ini; kriteria inquiry 2029 milik versi asesmen yang berbeda.
Dalam kurikulum Anda
- Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
- Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.
Ide utama
- Asumsi: Syarat yang diambil agar model matematis mungkin dan efeknya harus dievaluasi.
- Susun pertanyaan yang terfokus dengan variabel terukur dan metode yang layak.
- Waspadai: jangan meniru eksplorasi contoh, membuat data sendiri, atau memalsu keterlibatan pribadi.